人邮高数 第1章 第1-6-3题
📝 题目
3．下列计算是否正确？如有错误，请指出错在何处。 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x-x}{x^{3}}=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
这个计算是错误的。
**错误原因**： 在求极限的过程中，不能直接对分子中的 $\tan x$ 和 $\sin x$ 分别用等价无穷小 $x$ 替换，因为这里它们相减，替换后分子变成 $x - x = 0$，导致分子是 $0$，而分母也是 $0$，无法直接得到极限值。这种“分别替换后再相减”的做法忽略了它们的高阶无穷小部分，从而丢失了极限的真实值。
正确的做法是先将分子进行恒等变形，再使用等价无穷小或洛必达法则。具体如下：
$$ \displaystyle{\lim}_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \displaystyle{\lim}_{x \to 0} \frac{\sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right)}{x^3} = \displaystyle{\lim}_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x} $$
利用 $\sin x \sim x$，$\displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，以及 $\cos x \to 1$，得到：
$$ = \displaystyle{\lim}_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cdot 1} = \frac{1}{2} $$
因此原极限的正确结果是 $\displaystyle \frac{1}{2}$，而不是 $0$。