人邮高数 第6章 第6-4-10题
📝 题目
10．证明曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \mathrm{e}^{t} \cos t, \\ y=a \mathrm{e}^{t} \sin t, \\ z=a \mathrm{e}^{t}\end{array}\right.$ 与锥面 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 的母线相交成一定角．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们首先明确题目中的曲线为参数形式 $$ \begin{cases} x = a e^{t} \cos t, \\ y = a e^{t} \sin t, \\ z = a e^{t} \end{cases} $$ 而锥面方程为 $$ x^{2} + y^{2} = z^{2}. $$ 锥面的母线是指从顶点出发沿锥面的直线，对于锥面 $x^2+y^2=z^2$，其顶点在原点，母线的方向向量可取为从原点指向曲面上任意一点的向量，即方向为 $(x,y,z)$。
要证明曲线与母线相交成定角，即证明曲线上任一点处的切向量与该点处母线方向向量之间的夹角为常数。
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**第一步：求曲线的切向量** 对参数 $t$ 求导： $$ \frac{dx}{dt} = a e^{t} \cos t - a e^{t} \sin t = a e^{t}(\cos t - \sin t), $$ $$ \frac{dy}{dt} = a e^{t} \sin t + a e^{t} \cos t = a e^{t}(\sin t + \cos t), $$ $$ \frac{dz}{dt} = a e^{t}. $$ 因此切向量 $$ \mathbf{T}(t) = a e^{t} (\cos t - \sin t,\; \sin t + \cos t,\; 1). $$
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**第二步：母线的方向向量** 在曲线上任一点 $(x,y,z)$，母线方向可取为从原点到该点的向量 $$ \mathbf{M}(t) = (a e^{t} \cos t,\; a e^{t} \sin t,\; a e^{t}) = a e^{t} (\cos t,\; \sin t,\; 1). $$
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**第三步：计算两向量夹角余弦** 由于两向量都含有公因子 $a e^{t}$，可约去，不影响夹角。 令 $$ \mathbf{u} = (\cos t - \sin t,\; \sin t + \cos t,\; 1), $$ $$ \mathbf{v} = (\cos t,\; \sin t,\; 1). $$ 计算点积： $$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (\cos t - \sin t)\cos t + (\sin t + \cos t)\sin t + 1\cdot 1 $$ $$ = \cos^2 t - \sin t \cos t + \sin^2 t + \sin t \cos t + 1 $$ $$ = (\cos^2 t + \sin^2 t) + 1 = 1 + 1 = 2. $$
计算模长： $$ |\mathbf{u}| = \sqrt{(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2 + 1^2} $$ $$ = \sqrt{(\cos^2 t - 2\sin t\cos t + \sin^2 t) + (\sin^2 t + 2\sin t\cos t + \cos^2 t) + 1} $$ $$ = \sqrt{(1) + (1) + 1} = \sqrt{3}. $$ $$ |\mathbf{v}| = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}. $$
因此 $$ \cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|} = \frac{2}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}. $$
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**第四步：结论** 夹角 $\theta = \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}$ 与参数 $t$ 无关，即为定角。因此曲线与锥面的母线相交成一定角。
难度：★★☆☆☆