人邮高数 第6章 第6-4-8题
📝 题目
8．求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, \\ z=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求空间曲线 $$ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=6,\\ z=x^{2}+y^{2} \end{cases} $$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切线方程。
**第一步：将曲线视为两曲面的交线** 第一个方程是球面，第二个是旋转抛物面。交线参数化不易直接得到，因此采用隐函数求导法求切向量。
**第二步：求曲线切向量** 设曲线参数为 $t$，对两方程两边关于 $t$ 求导：
对第一个方程： $$ \displaystyle{\frac{d}{dt}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=2x x' + 2y y' + 2z z' =0 $$ 代入点 $(1,1,2)$： $$ 2\cdot 1\cdot x' + 2\cdot 1\cdot y' + 2\cdot 2\cdot z' = 0 $$ 即 $$ 2x' + 2y' + 4z' = 0 \quad\Rightarrow\quad x' + y' + 2z' = 0 \tag{1} $$
对第二个方程： $$ \displaystyle{\frac{d}{dt}(z)}= \frac{d}{dt}(x^{2}+y^{2}) \quad\Rightarrow\quad z' = 2x x' + 2y y' $$ 代入点 $(1,1,2)$： $$ z' = 2\cdot 1\cdot x' + 2\cdot 1\cdot y' = 2x' + 2y' \tag{2} $$
**第三步：解出方向比** 将(2)代入(1)： $$ x' + y' + 2(2x' + 2y') = 0 $$ $$ x' + y' + 4x' + 4y' = 0 $$ $$ 5x' + 5y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -x' $$
再代回(2)： $$ z' = 2x' + 2(-x') = 0 $$
因此切向量可取为 $(x', y', z') = (1, -1, 0)$ 或任意非零倍数。
**第四步：写出切线方程** 过点 $(1,1,2)$，方向向量 $(1,-1,0)$，切线对称式方程为： $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-2}{0} $$ 其中分母为0表示 $z=2$ 为常数。
因此切线方程可写为： $$ \begin{cases} \displaystyle{\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1}},\\ z = 2 \end{cases} $$
**最终答案：** $$ \boxed{\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1},\quad z=2} $$
难度：★★☆☆☆