人邮高数 第7章 第7-1-17题
📝 题目
17．计算积分 $I=\displaystyle{\int}_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\displaystyle{\int}_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们首先分析积分区域，并考虑交换积分次序来简化计算。
原积分为 $$ I=\int_{\frac14}^{\frac12} dy \int_{\frac12}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} dx + \int_{\frac12}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} dx. $$
**第一步：确定积分区域** 第一个积分： $ y $ 从 $\frac14$ 到 $\frac12$， $ x $ 从 $\frac12$ 到 $\sqrt{y}$。 注意当 $y<\frac14$ 时 $\sqrt{y}<\frac12$，所以下限大于上限？实际上这里要小心：当 $y=\frac14$ 时 $\sqrt{y}=\frac12$，而当 $y$ 增大到 $\frac12$ 时 $\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707$，大于 $\frac12$，所以此部分积分区域是有效的。
第二个积分： $ y $ 从 $\frac12$ 到 $1$， $ x $ 从 $y$ 到 $\sqrt{y}$。 因为当 $y\in(\frac12,1)$ 时，有 $y < \sqrt{y}$，所以也是有效区域。
合并两个区域： - 第一部分：$\frac14 \le y \le \frac12$，$\frac12 \le x \le \sqrt{y}$ - 第二部分：$\frac12 \le y \le 1$，$y \le x \le \sqrt{y}$
我们画出 $x$ 与 $y$ 的关系曲线： 曲线 $x=\sqrt{y}$ 即 $y=x^2$， 直线 $x=\frac12$ 是竖直线， 直线 $x=y$ 是对角线。
**第二步：交换积分次序** 观察区域边界： - 下边界：当 $x$ 从 $\frac12$ 到 $1$ 时，$y$ 的下限由左边曲线决定。 对于 $x$ 从 $\frac12$ 到 $1$， 左边曲线是 $x = \frac12$ 吗？不是，要小心： 在 $x$ 固定时，$y$ 的范围是什么？
从图形看： 当 $x$ 从 $\frac12$ 到 $1$， $y$ 的下边界是 $y = x^2$（因为 $x=\sqrt{y}$ 的反函数是 $y=x^2$）， 上边界是 $y = x$（因为 $x=y$ 的反函数是 $y=x$）。 但需要验证 $x$ 的范围： 当 $x=\frac12$ 时，$y$ 从 $(\frac12)^2 = \frac14$ 到 $\frac12$，符合第一部分。 当 $x=1$ 时，$y$ 从 $1^2=1$ 到 $1$，只是一个点。 所以交换次序后： $$ I = \int_{x=\frac12}^{1} dx \int_{y=x^2}^{x} e^{\frac{y}{x}} dy. $$
**第三步：计算内层积分** 内层对 $y$ 积分时，$x$ 视为常数： $$ \int_{y=x^2}^{x} e^{\frac{y}{x}} dy = \left[ x e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=x^2}^{y=x} = x e^{\frac{x}{x}} - x e^{\frac{x^2}{x}} = x e^{1} - x e^{x}. $$
**第四步：计算外层积分** 于是 $$ I = \int_{\frac12}^{1} \left( x e - x e^{x} \right) dx = e \int_{\frac12}^{1} x \, dx - \int_{\frac12}^{1} x e^{x} dx. $$
计算第一部分： $$ \int_{\frac12}^{1} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\frac12}^{1} = \frac12 - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}. $$ 所以第一部分为 $ e \cdot \frac{3}{8} $.
第二部分用分部积分： 令 $u=x,\ dv=e^x dx$，则 $du=dx,\ v=e^x$， $$ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x = e^x (x-1). $$ 因此 $$ \int_{\frac12}^{1} x e^x dx = \left[ e^x (x-1) \right]_{\frac12}^{1} = e^1(1-1) - e^{1/2}\left(\frac12 - 1\right) = 0 - e^{1/2}\left(-\frac12\right) = \frac12 e^{1/2}. $$
**第五步：合并结果** $$ I = \frac{3e}{8} - \frac12 e^{1/2} = \frac{3e}{8} - \frac{\sqrt{e}}{2}. $$
因此 $$ \boxed{I = \frac{3e}{8} - \frac{\sqrt{e}}{2}}. $$
难度评级：★★★☆☆ （涉及二重积分交换次序与分部积分，思路清晰但需仔细处理积分限）