人邮高数 第7章 第7-1-31题

[AI解答]

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我们要求曲面 $$ z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} $$ 与平面 $z = 4$ 所围立体的体积。 该立体在 $z$ 方向从曲面到平面，在 $xy$ 平面上的投影区域由 $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 4 $$ 给出，这是一个椭圆区域。

采用二重积分计算体积： $$ V = \iint\limits_{D} \left[4 - \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right) \right] \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y, $$ 其中 $$ D: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 4. $$

作广义极坐标变换： $$ x = a r \cos\theta,\quad y = b r \sin\theta, $$ 则雅可比行列式为 $$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = ab\,r. $$ 区域 $D$ 对应 $0 \le r \le 2$，$0 \le \theta \le 2\pi$，被积函数变为 $$ 4 - \left( r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta \right) = 4 - r^2. $$

于是体积为： $$ \begin{aligned} V &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (4 - r^2) \cdot ab\,r \, \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \\ &= ab \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{2} (4r - r^3) \, \mathrm{d}r \\ &= ab \cdot 2\pi \cdot \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2} \\ &= 2\pi ab \left( 2\cdot 4 - \frac{16}{4} \right) \\ &= 2\pi ab \left( 8 - 4 \right) \\ &= 2\pi ab \cdot 4 = 8\pi ab. \end{aligned} $$

因此，所求立体的体积为 $$ \boxed{8\pi ab}. $$

难度：★★☆☆☆