人邮高数 第7章 第7-1-8题
📝 题目
8．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D_{1}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma, I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D_{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{1}=[-1,1] \times[-2,2]$ ， $D_{2}=[0,1] \times[0,2]$ ，试说明 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的关系．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，我们分析两个积分区域和被积函数。 被积函数为 $(x^2+y^2)^3$，它关于 $x$ 和 $y$ 都是偶函数，即 $$ f(-x,y)=f(x,y),\quad f(x,-y)=f(x,y). $$
区域 $D_1=[-1,1]\times[-2,2]$ 关于 $x=0$ 和 $y=0$ 均对称。 区域 $D_2=[0,1]\times[0,2]$ 恰好是 $D_1$ 在第一象限的部分。
由于被积函数是偶函数，且区域对称，因此整个区域上的积分等于第一象限部分积分的 4 倍。 即 $$ I_1 = 4 \iint_{D_2} (x^2+y^2)^3 \, d\sigma = 4 I_2. $$
因此，$I_1$ 与 $I_2$ 的关系为 $$ \boxed{I_1 = 4 I_2}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析被积函数的奇偶性
被积函数为 (x^2+y^2)^3，它是关于 x 和 y 的偶函数，即 f(-x,y)=f(x,y) 且 f(x,-y)=f(x,y)。
提示：偶函数在对称区域上的积分性质
步骤 2/3
目标：分析积分区域的对称性
区域 D1=[-1,1]×[-2,2] 关于 x=0 和 y=0 均对称，而 D2=[0,1]×[0,2] 是 D1 在第一象限的部分。
提示：注意 D1 的对称轴
步骤 3/3
目标：利用对称性建立积分关系
由于被积函数是偶函数且区域对称，整个区域上的积分等于第一象限部分积分的 4 倍，即 I1 = 4 * I2。
公式：I1 = 4 I2
提示：偶函数在对称区域上的积分等于单象限积分的倍数
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