人邮高数 第7章 第7-2-12题

教材习题

📝 题目

12．密度为 1 的立体由曲面 $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ 及平面 $z=0, z=\sqrt{3}$ 围成，求它对 $z$ 轴的转动惯量．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

**步骤1：明确问题与坐标系选择** 立体由单叶双曲面 $x^2 + y^2 - z^2 = 1$ 与平面 $z=0$、$z=\sqrt{3}$ 围成，密度 $\rho = 1$。 对 $z$ 轴的转动惯量公式为： $$ I_z = \iiint\limits_{\Omega} (x^2 + y^2) \, dV. $$ 由于区域关于 $z$ 轴对称，采用柱坐标： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z, $$ 此时 $x^2 + y^2 = r^2$，体积元 $dV = r\, dr\, d\theta\, dz$。

**步骤2：确定积分区域** 在柱坐标下，曲面方程变为： $$ r^2 - z^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad r^2 = 1 + z^2. $$ 区域由 $z=0$ 到 $z=\sqrt{3}$，对于每个固定的 $z$，$r$ 从 $0$ 到 $\sqrt{1+z^2}$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。

**步骤3：写出三重积分** $$ I_z = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{3}} dz \int_{0}^{\sqrt{1+z^2}} r^2 \cdot r\, dr = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{3}} dz \int_{0}^{\sqrt{1+z^2}} r^3\, dr. $$

**步骤4：逐层积分** 先对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{\sqrt{1+z^2}} r^3\, dr = \left.\frac{r^4}{4}\right|_{0}^{\sqrt{1+z^2}} = \frac{(1+z^2)^2}{4}. $$ 再对 $z$ 积分： $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{(1+z^2)^2}{4}\, dz = \frac{1}{4} \int_{0}^{\sqrt{3}} (1 + 2z^2 + z^4)\, dz. $$ 计算： $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} 1\, dz = \sqrt{3},\quad \int_{0}^{\sqrt{3}} 2z^2\, dz = 2\cdot\frac{z^3}{3}\Big|_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}, $$ $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} z^4\, dz = \frac{z^5}{5}\Big|_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^5}{5} = \frac{9\sqrt{3}}{5}. $$ 所以： $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} (1+2z^2+z^4)\, dz = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{5} = 3\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{5} = \frac{15\sqrt{3}+9\sqrt{3}}{5} = \frac{24\sqrt{3}}{5}. $$ 因此： $$ \frac{1}{4} \cdot \frac{24\sqrt{3}}{5} = \frac{6\sqrt{3}}{5}. $$

最后对 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. $$

**步骤5：得到结果** $$ I_z = 2\pi \cdot \frac{6\sqrt{3}}{5} = \frac{12\pi\sqrt{3}}{5}. $$

**最终答案：** $$ \boxed{\dfrac{12\pi\sqrt{3}}{5}} $$

难度评级：★★★☆☆ （需要空间想象、柱坐标变换、三重积分计算，但步骤清晰，计算量适中）

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：明确问题与坐标系选择
立体由单叶双曲面 x^2+y^2-z^2=1 与平面 z=0、z=√3 围成，密度 ρ=1。对 z 轴的转动惯量公式为 I_z = ∭_Ω (x^2+y^2) dV。由于区域关于 z 轴对称，采用柱坐标：x=r cosθ, y=r sinθ, z=z，此时 x^2+y^2=r^2，体积元 dV=r dr dθ dz。
公式：I_z = ∭_Ω (x^2+y^2) dV
提示：柱坐标适用于旋转对称区域。
步骤 2/5
目标：确定积分区域
在柱坐标下，曲面方程变为 r^2 - z^2 = 1，即 r^2 = 1+z^2。区域由 z=0 到 z=√3，对于每个固定的 z，r 从 0 到 √(1+z^2)，θ 从 0 到 2π。
公式：r^2 = 1+z^2
提示：注意 r 的下限为 0，因为立体包含 z 轴附近区域。
步骤 3/5
目标：写出三重积分
I_z = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{√3} dz ∫_{0}^{√(1+z^2)} r^2 * r dr = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{√3} dz ∫_{0}^{√(1+z^2)} r^3 dr。
公式：I_z = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^{√3} dz ∫_0^{√(1+z^2)} r^3 dr
提示：注意被积函数 r^2 乘以体积元中的 r 得到 r^3。
步骤 4/5
目标：逐层积分
先对 r 积分：∫_0^{√(1+z^2)} r^3 dr = (1+z^2)^2/4。再对 z 积分：∫_0^{√3} (1+z^2)^2/4 dz = 1/4 ∫_0^{√3} (1+2z^2+z^4) dz。计算得 ∫_0^{√3} 1 dz = √3，∫_0^{√3} 2z^2 dz = 2√3，∫_0^{√3} z^4 dz = 9√3/5，总和为 24√3/5，乘以 1/4 得 6√3/5。最后对 θ 积分：∫_0^{2π} dθ = 2π。
公式：∫_0^{√(1+z^2)} r^3 dr = (1+z^2)^2/4; ∫_0^{√3} (1+2z^2+z^4) dz = 24√3/5
提示：计算定积分时注意幂函数积分公式。
步骤 5/5
目标：得到结果
I_z = 2π * (6√3/5) = 12π√3/5。
公式：I_z = 12π√3/5
提示：最终结果化简为最简形式。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第7-2-11题 返回列表 第7-2-13题 →