人邮高数 第7章 第7-3-13题
📝 题目
13．把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为对弧长的曲线积分，其中 $\Gamma$ 为从点 $(0,0,0)$ 到点 $(1,-2,2)$ 的直线段．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们先把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。一般公式为： 若曲线 $\Gamma$ 有参数方程 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$，则 $$ \int_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \int_{\Gamma} (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\,ds, $$ 其中 $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 是曲线切向量的方向余弦。
**第一步：写出直线段的方向向量** 从点 $(0,0,0)$ 到 $(1,-2,2)$，方向向量为 $$ \mathbf{v} = (1-0,\,-2-0,\,2-0) = (1,\,-2,\,2). $$
**第二步：求方向余弦** 先求方向向量的模： $$ |\mathbf{v}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3. $$ 于是方向余弦为 $$ \cos\alpha = \frac{1}{3},\quad \cos\beta = \frac{-2}{3},\quad \cos\gamma = \frac{2}{3}. $$
**第三步：代入公式** 对弧长的曲线积分形式为 $$ \int_{\Gamma} \left( P\cdot\frac{1}{3} + Q\cdot\frac{-2}{3} + R\cdot\frac{2}{3} \right) ds, $$ 即 $$ \int_{\Gamma} \frac{1}{3}\big(P(x,y,z) - 2Q(x,y,z) + 2R(x,y,z)\big)\,ds. $$
因此，原积分化为 $$ \boxed{\displaystyle{\int}_{\Gamma} \frac{1}{3}\big(P - 2Q + 2R\big)\,ds}. $$
难度评级：★☆☆☆☆ （只需计算方向余弦并代入公式，步骤固定且简单。）