人邮高数 第7章 第7-3-8题

教材习题

📝 题目

8．有一段铁丝成半圆形 $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 已知铁丝形状为半圆 $ y = \sqrt{a^2 - x^2} $，其中 $ -a \le x \le a $，且线密度 $\rho(x, y) = y$。 质量计算公式为对弧长的曲线积分：

$$ m = \int_{L} \rho(x, y) \, \mathrm{d}s = \int_{L} y \, \mathrm{d}s $$

将曲线参数化： 令 $ x = a\cos t,\; y = a\sin t $，其中 $ t $ 从 $ 0 $ 到 $ \pi $（上半圆）。 弧长微元为：

$$ \mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2} \, \mathrm{d}t = a \, \mathrm{d}t $$

于是质量积分为：

$$ m = \int_{0}^{\pi} (a\sin t) \cdot a \, \mathrm{d}t = a^{2} \int_{0}^{\pi} \sin t \, \mathrm{d}t $$

计算定积分：

$$ \int_{0}^{\pi} \sin t \, \mathrm{d}t = \left[ -\cos t \right]_{0}^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2 $$

因此：

$$ m = a^{2} \cdot 2 = 2a^{2} $$

最终结果为：

$$ \boxed{2a^{2}} $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：建立质量积分表达式
铁丝形状为半圆 y = √(a² - x²)，线密度 ρ(x,y) = y。质量 m = ∫_L y ds。
公式：m = ∫_L ρ(x,y) ds
提示：线密度是纵坐标，所以被积函数为 y。
步骤 2/6
目标：参数化曲线
令 x = a cos t, y = a sin t，t 从 0 到 π（上半圆）。
公式：x = a cos t, y = a sin t, t∈[0,π]
提示：参数 t 对应角度，从 0 到 π 覆盖上半圆。
步骤 3/6
目标：计算弧长微元 ds
dx/dt = -a sin t, dy/dt = a cos t，则 ds = √[(-a sin t)² + (a cos t)²] dt = a dt。
公式：ds = √((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt = a dt
提示：注意化简后为常数 a。
步骤 4/6
目标：代入积分
m = ∫_0^π (a sin t) * a dt = a² ∫_0^π sin t dt。
公式：m = a² ∫_0^π sin t dt
提示：被积函数 y = a sin t，ds = a dt。
步骤 5/6
目标：计算定积分
∫_0^π sin t dt = [-cos t]_0^π = (-cos π) - (-cos 0) = 1 + 1 = 2。
公式：∫ sin t dt = -cos t
提示：注意 cos π = -1，cos 0 = 1。
步骤 6/6
目标：得出质量
m = a² * 2 = 2a²。
提示：最终结果与 a 的平方成正比。

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