人邮高数 第7章 第7-5-3题
📝 题目
3．设在 $x O y$ 面内有力 $\boldsymbol{F}(x, y)=\left(x+y^{2}\right) \boldsymbol{i}+(2 x y-1) \boldsymbol{j}$ 构成力场．证明：在此力场中，场力所做的功与路径无关。
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明力场 $\boldsymbol{F}(x, y) = (x + y^2) \boldsymbol{i} + (2xy - 1) \boldsymbol{j}$ 做功与路径无关，只需证明该向量场是保守场，即存在势函数，或等价地，其旋度为零（在单连通区域内）。
设 $$ P(x, y) = x + y^2, \quad Q(x, y) = 2xy - 1. $$
计算偏导数： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + y^2) = 2y, $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy - 1) = 2y. $$
显然有： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}. $$
由于 $\displaystyle{\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}}$ 在 $xOy$ 平面内处处成立，且平面是单连通区域，因此该力场是保守场，场力所做的功与路径无关。
难度评级：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明力场做功与路径无关
要证明力场做功与路径无关，只需证明该向量场是保守场。对于平面向量场，保守场的充要条件是旋度为零，即 ∂P/∂y = ∂Q/∂x，其中 P 和 Q 分别是向量场的 x 和 y 分量。
公式：∂P/∂y = ∂Q/∂x
提示：注意检查定义域是否单连通，本题中整个 xOy 平面是单连通的。
步骤 2/5
目标：识别向量场的分量
给定力场 F(x,y) = (x + y^2)i + (2xy - 1)j，因此 P(x,y) = x + y^2，Q(x,y) = 2xy - 1。
步骤 3/5
目标：计算偏导数 ∂P/∂y
对 P(x,y) = x + y^2 关于 y 求偏导：∂P/∂y = ∂(x + y^2)/∂y = 2y。
公式：∂P/∂y = 2y
提示：求偏导时，将 x 视为常数。
步骤 4/5
目标：计算偏导数 ∂Q/∂x
对 Q(x,y) = 2xy - 1 关于 x 求偏导：∂Q/∂x = ∂(2xy - 1)/∂x = 2y。
公式：∂Q/∂x = 2y
提示：求偏导时，将 y 视为常数。
步骤 5/5
目标：比较偏导数并得出结论
由于 ∂P/∂y = 2y，∂Q/∂x = 2y，因此 ∂P/∂y = ∂Q/∂x 在整个 xOy 平面内成立。因为平面是单连通区域，所以该力场是保守场，场力所做的功与路径无关。
提示：保守场意味着存在势函数，做功只与起点和终点有关。
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