人邮高数 第8章 第8-1-4题
📝 题目
4．判别级数 $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2 \times 10}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{10 n}+\cdots$ 是否收敛．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，将级数通项写清楚。题目所给级数可理解为：
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{10} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2 \times 10} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{10n} + \cdots $$
观察规律，级数是由两个子级数交错构成：
- 一个是以 $\displaystyle{\frac{1}{2^n}}$ 为通项的几何级数（从 $n=1$ 开始）； - 另一个是以 $\displaystyle{\frac{1}{10n}}$ 为通项的调和型级数（从 $n=1$ 开始）。
因此原级数可表示为：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \;+\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10n} $$
注意，这里两个级数都是正项级数，且原级数的部分和就是这两个级数部分和之和。
分别判断：
1. 对于 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}$，这是公比 $r = \frac12$ 的几何级数，满足 $|r|<1$，因此收敛。
2. 对于 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10n} = \frac{1}{10} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}$，这是调和级数，发散。
由于一个收敛级数与一个发散级数相加，结果必发散。因此原级数发散。
结论：级数发散。
难度评级：★★☆☆☆