人邮高数 第1章 第1-7-7题

[AI解答]

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要讨论函数在 $x=0$ 处的连续性，需要考察极限 $\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)}$ 是否等于 $f(0)=1$。

由于函数在 $x \neq 0$ 时的表达式为 $$ f(x) = \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} - 1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} + 1}, $$ 当 $x \to 0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x}$ 的符号不同会导致 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 的极限不同，因此需要分别考虑左极限和右极限。

**第一步：求右极限** 当 $x \to 0^+$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x} \to +\infty$，因此 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \to +\infty$。 将分子分母同时除以 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$： $$ f(x) = \frac{1 - \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{1 + \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}. $$ 当 $x \to 0^+$ 时，$\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}} \to 0$，所以 $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1. $$

**第二步：求左极限** 当 $x \to 0^-$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x} \to -\infty$，因此 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \to 0$。 直接代入极限： $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1. $$

**第三步：比较极限与函数值** 右极限为 $1$，左极限为 $-1$，左右极限不相等，因此 $\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)}$ 不存在。 而 $f(0)=1$，所以函数在 $x=0$ 处不连续（且为跳跃间断点）。

**结论**：函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续。