人邮高数 第8章 第8-4-3题
📝 题目
3．将函数 $f(x)=\sin ^{4} x$ 展开成傅里叶级数。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 将函数 $ f(x) = \sin^4 x $ 展开成傅里叶级数。 首先利用三角恒等式降幂：
$$ \sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x \right) $$
再对 $\cos^2 2x$ 降幂：
$$ \cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} $$
代入得：
$$ \sin^4 x = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos 2x + \frac12 + \frac12 \cos 4x \right) $$
合并常数项：
$$ = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac12 \cos 4x \right) = \frac{3}{8} - \frac12 \cos 2x + \frac18 \cos 4x $$
由于原函数已经是周期为 $\pi$ 的偶函数（因为 $\sin^4 x$ 周期为 $\pi$，且为偶函数），因此傅里叶级数只有余弦项，且基频为 $2x$ 的整数倍。 上式已经是三角级数的形式，因此直接得到傅里叶展开：
$$ f(x) = \frac{3}{8} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos 2nx \right) $$
其中：
$$ a_1 = -\frac12,\quad a_2 = \frac18,\quad a_n = 0 \quad (n \geq 3) $$
因此：
$$ \boxed{\sin^4 x = \frac{3}{8} - \frac12 \cos 2x + \frac18 \cos 4x} $$
难度：★☆☆☆☆ （仅需三角恒等式降幂，无需积分计算傅里叶系数）