人邮高数 第2章 第2-1-4题
📝 题目
4．讨论下列函数在 $x=0$ 处的连续性和可导性： （1）$y=x^{3}$ ； （2）$y=\left|x^{3}\right|$ ； （3）$y=\sin x$ ； （4）$y=|\sin x|$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 以下依次讨论各函数在 $x=0$ 处的连续性与可导性。
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### （1）$y = x^{3}$
**连续性** 由于 $x^{3}$ 是多项式函数，在 $x=0$ 处显然连续。 或者直接验证： $$ \lim_{x\to 0} x^{3} = 0 = f(0) $$ 所以连续。
**可导性** 用导数定义： $$ f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{x^{3} - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} x^{2} = 0 $$ 极限存在，故在 $x=0$ 处可导，且导数为 $0$。
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### （2）$y = |x^{3}|$
**连续性** $|x^{3}|$ 是连续函数（绝对值函数与连续函数的复合），在 $x=0$ 处显然连续。 直接验证： $$ \lim_{x\to 0} |x^{3}| = 0 = f(0) $$ 所以连续。
**可导性** 用导数定义： $$ f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{|x^{3}| - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{|x^{3}|}{x} $$ 当 $x>0$ 时，$|x^{3}| = x^{3}$，比值为 $x^{2} \to 0$； 当 $x<0$ 时，$|x^{3}| = -x^{3}$，比值为 $-x^{2} \to 0$。 左右极限均为 $0$，故极限存在，所以可导，导数为 $0$。
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### （3）$y = \sin x$
**连续性** $\sin x$ 是基本初等函数，在 $x=0$ 处连续。 直接验证： $$ \lim_{x\to 0} \sin x = 0 = \sin 0 $$ 所以连续。
**可导性** 用导数定义： $$ f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$ 极限存在，故可导，导数为 $1$。
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### （4）$y = |\sin x|$
**连续性** $|\sin x|$ 是连续函数（绝对值与连续函数的复合），在 $x=0$ 处连续。 直接验证： $$ \lim_{x\to 0} |\sin x| = 0 = |\sin 0| $$ 所以连续。
**可导性** 用导数定义： $$ f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{|\sin x| - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{|\sin x|}{x} $$ 当 $x>0$ 时，$\sin x > 0$，所以 $|\sin x| = \sin x$，比值为 $\displaystyle \frac{\sin x}{x} \to 1$； 当 $x<0$ 时，$\sin x < 0$，所以 $|\sin x| = -\sin x$，比值为 $\displaystyle -\frac{\sin x}{x} \to -1$。 左右极限不相等，故极限不存在，所以在 $x=0$ 处不可导。
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**总结**： （1）连续且可导； （2）连续且可导； （3）连续且可导； （4）连续但不可导。