人邮高数 第2章 第2-2-14题
📝 题目
14．利用对数求导法求下列函数的导数： （1）$y=x^{x}$ ； （2）$(\cos y)^{x}=(\sin x)^{y}$ ； （3）$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x+1}(2-x)^{3}}{(x-1)^{4}}$ ； （4）$y=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{1-\sin x}}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**14. 利用对数求导法求下列函数的导数**
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### （1）$y=x^{x}$
**解：** 两边取自然对数： $$ \ln y = \ln(x^{x}) = x \ln x $$ 两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）： $$ \frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 $$ 所以 $$ y' = y(\ln x + 1) = x^{x} (\ln x + 1) $$
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### （2）$(\cos y)^{x}=(\sin x)^{y}$
**解：** 两边取自然对数： $$ \ln\big((\cos y)^{x}\big) = \ln\big((\sin x)^{y}\big) $$ 即 $$ x \ln(\cos y) = y \ln(\sin x) $$ 两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）： $$ \ln(\cos y) + x \cdot \frac{-\sin y}{\cos y} \cdot y' = y' \ln(\sin x) + y \cdot \frac{\cos x}{\sin x} $$ 整理： $$ \ln(\cos y) - x \tan y \cdot y' = y' \ln(\sin x) + y \cot x $$ 将含 $y'$ 的项移到一边： $$ - x \tan y \cdot y' - y' \ln(\sin x) = y \cot x - \ln(\cos y) $$ 提取 $y'$： $$ y' \big[ - x \tan y - \ln(\sin x) \big] = y \cot x - \ln(\cos y) $$ 所以 $$ y' = \frac{ y \cot x - \ln(\cos y) }{ - x \tan y - \ln(\sin x) } $$ 或等价地 $$ y' = \frac{ \ln(\cos y) - y \cot x }{ x \tan y + \ln(\sin x) } $$
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### （3）$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x+1}(2-x)^{3}}{(x-1)^{4}}$
**解：** 两边取自然对数： $$ \ln y = \frac{1}{2} \ln(x+1) + 3 \ln(2-x) - 4 \ln(x-1) $$ 对 $x$ 求导： $$ \frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+1} + 3 \cdot \frac{-1}{2-x} - 4 \cdot \frac{1}{x-1} $$ 注意 $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(2-x) = \frac{-1}{2-x}$，所以 $$ \frac{y'}{y} = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{2-x} - \frac{4}{x-1} $$ 因此 $$ y' = \frac{\sqrt{x+1}(2-x)^{3}}{(x-1)^{4}} \left( \frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{2-x} - \frac{4}{x-1} \right) $$
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### （4）$y=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{1-\sin x}}}$
**解：** 先化简根式嵌套： $$ y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{1-\sin x}}} $$ 由外到内： $$ y = \big[ x \big( x (1-\sin x)^{1/2} \big)^{1/2} \big]^{1/2} $$ 指数运算： $$ y = x^{1/2} \cdot \big( x (1-\sin x)^{1/2} \big)^{1/4} = x^{1/2} \cdot x^{1/4} \cdot (1-\sin x)^{1/8} = x^{3/4} (1-\sin x)^{1/8} $$ 两边取自然对数： $$ \ln y = \frac{3}{4} \ln x + \frac{1}{8} \ln(1-\sin x) $$ 对 $x$ 求导： $$ \frac{y'}{y} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{8} \cdot \frac{-\cos x}{1-\sin x} $$ 所以 $$ y' = x^{3/4} (1-\sin x)^{1/8} \left( \frac{3}{4x} - \frac{\cos x}{8(1-\sin x)} \right) $$
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以上四题均利用对数求导法完成。