人邮高数 第2章 第2-2-17题
📝 题目
17．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{2}, \\ y=t^{3}\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 处的切线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知曲线的参数方程为 $$ \begin{cases} x = 1 + t^2, \\ y = t^3 \end{cases} $$ 求在 $t=2$ 处的切线方程。
**第一步：求对应点的坐标** 当 $t=2$ 时， $$ x = 1 + 2^2 = 5, \quad y = 2^3 = 8 $$ 所以切点为 $(5, 8)$。
**第二步：求导数（斜率）** 由参数方程求导公式： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle{}\frac{dy}{dt}}{\displaystyle{}\frac{dx}{dt}} $$ 分别求导： $$ \frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2 $$ 因此 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2} $$ 当 $t=2$ 时， $$ k = \frac{3 \times 2}{2} = 3 $$
**第三步：写出切线方程** 点斜式： $$ y - 8 = 3(x - 5) $$ 整理得： $$ y = 3x - 7 $$
因此，所求切线方程为 $$ \boxed{y = 3x - 7} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求切点坐标
将 t=2 代入参数方程 x=1+t^2, y=t^3，得 x=5, y=8，切点为 (5,8)。
步骤 2/3
目标：求导数（斜率）
由参数方程求导公式 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)，计算 dx/dt=2t, dy/dt=3t^2，得 dy/dx = (3t^2)/(2t)=3t/2。代入 t=2 得斜率 k=3。
公式：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
步骤 3/3
目标：写出切线方程
利用点斜式 y - y0 = k(x - x0)，代入 (5,8) 和 k=3，得 y-8=3(x-5)，整理为 y=3x-7。
公式：y - y0 = k(x - x0)
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