人邮高数 第2章 第2-2-2题
📝 题目
2．填空题： （1）设曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则点 $M$ 的坐标为 $\_\_\_\_$ ； （2）过曲线 $\displaystyle y=\frac{4+x}{4-x}$ 上点 $(2,3)$ 处的切线的斜率为 $\_\_\_\_$ ； （3）设 $f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ ，则 $[f(0)]^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ； （4）一物体按规律 $s(t)=3 t-t^{2}$ 做直线运动，速度 $\displaystyle v\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ； （5）设 $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] （1）曲线 $y=\frac{1}{1+x^{2}}$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $x$ 轴，即斜率为 0。 先求导： $$ y' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{1+x^{2}} \right) = -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}} $$ 令 $y' = 0$，得 $-2x = 0 \Rightarrow x = 0$。 代入原函数得 $y = \frac{1}{1+0}=1$，所以点 $M$ 坐标为 $(0,1)$。
（2）曲线 $y=\frac{4+x}{4-x}$，求导： 使用商法则： $$ y' = \frac{(1)(4-x) - (4+x)(-1)}{(4-x)^{2}} = \frac{4-x + 4+x}{(4-x)^{2}} = \frac{8}{(4-x)^{2}} $$ 在点 $(2,3)$ 处，$x=2$，代入得： $$ y'(2) = \frac{8}{(4-2)^{2}} = \frac{8}{4} = 2 $$ 所以切线斜率为 $2$。
（3）设 $f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$，则 $$ f(0) = a_n $$ 而 $[f(0)]'$ 表示对常数 $a_n$ 求导，结果为 $0$。 所以填 $0$。
（4）物体运动规律 $s(t)=3t - t^{2}$，速度 $v(t)=s'(t)=3-2t$。 则 $$ v\left( \frac{3}{2} \right) = 3 - 2\cdot\frac{3}{2} = 3 - 3 = 0 $$
（5）$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$，求 $f'(0)$。 由乘积求导法则，或者观察： $$ f'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h(h-1)(h-2)(h-3)(h-4)-0}{h} $$ $$ = \lim_{h\to 0}(h-1)(h-2)(h-3)(h-4) = (-1)(-2)(-3)(-4) = 24 $$ 所以 $f'(0)=24$。
答案： （1）$(0,1)$ （2）$2$ （3）$0$ （4）$0$ （5）$24$
难度：★☆☆☆☆