人邮高数 第2章 第2-2-8题
📝 题目
8．求下列函数的高阶导数： （1）$y=\mathrm{e}^{x} \cos x$ ，求 $y^{\prime \prime \prime}$ ； （3）$\displaystyle y=\frac{1-x}{1+x}$ ，求 $y^{\prime \prime}$ ； （2）$y=\sin 2 x$ ，求 $y^{(n)}$ ； （4）$y=2^{x}$ ，求 $y^{(n)}$ 。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的详细求解过程。
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### （1）$ y = \mathrm{e}^{x} \cos x $，求 $ y^{\prime \prime \prime} $
使用莱布尼茨公式或逐次求导：
先求一阶导： $$ y' = \mathrm{e}^{x} \cos x - \mathrm{e}^{x} \sin x = \mathrm{e}^{x}(\cos x - \sin x) $$
二阶导： $$ y'' = \mathrm{e}^{x}(\cos x - \sin x) + \mathrm{e}^{x}(-\sin x - \cos x) = \mathrm{e}^{x}(\cos x - \sin x - \sin x - \cos x) = \mathrm{e}^{x}(-2\sin x) $$
三阶导： $$ y''' = \mathrm{e}^{x}(-2\sin x) + \mathrm{e}^{x}(-2\cos x) = -2\mathrm{e}^{x}(\sin x + \cos x) $$
因此： $$ \boxed{y^{\prime \prime \prime} = -2\mathrm{e}^{x}(\sin x + \cos x)} $$
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### （2）$ y = \sin 2x $，求 $ y^{(n)} $
我们知道： $$ \frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax),\quad \frac{d}{dx}\cos(ax) = -a\sin(ax) $$
于是： $$ y' = 2\cos 2x = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) $$ $$ y'' = -4\sin 2x = 2^2 \sin\left(2x + \frac{2\pi}{2}\right) $$
归纳可得： $$ y^{(n)} = 2^{n} \sin\left(2x + \frac{n\pi}{2}\right) $$
因此： $$ \boxed{y^{(n)} = 2^{n} \sin\left(2x + \frac{n\pi}{2}\right)} $$
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### （3）$ y = \frac{1-x}{1+x} $，求 $ y'' $
先化简： $$ y = \frac{1-x}{1+x} = \frac{-(x-1)}{x+1} = -1 + \frac{2}{1+x} $$
一阶导： $$ y' = -\frac{2}{(1+x)^2} $$
二阶导： $$ y'' = \frac{4}{(1+x)^3} $$
因此： $$ \boxed{y'' = \frac{4}{(1+x)^3}} $$
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### （4）$ y = 2^{x} $，求 $ y^{(n)} $
我们知道： $$ \frac{d}{dx} a^{x} = a^{x} \ln a $$
因此： $$ y' = 2^{x} \ln 2 $$ $$ y'' = 2^{x} (\ln 2)^2 $$
归纳得： $$ y^{(n)} = 2^{x} (\ln 2)^{n} $$
因此： $$ \boxed{y^{(n)} = 2^{x} (\ln 2)^{n}} $$
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难度评级：★★☆☆☆ （均为基本求导公式与简单归纳，但需注意三角函数的相位表示法）