人邮高数 第2章 第2-2-*22题
📝 题目
＊22．溶液从深 18 cm 、顶直径 12 cm 的正圆锥形容器中抽入一直径为 10 cm 的圆柱形筒中，开始时圆锥容器中盛满了溶液，已知当溶液在容器中深为 12 cm 时，其表面下降的速
率为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ ，问：此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？ ${ }^{*} 23$ ．落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，问：在 2 s 末扰动水面面积的增大率为多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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**习题2-2 第22题**
**题意分析** 正圆锥形容器：深 $H=18$ cm，顶直径 $D=12$ cm，故顶半径 $R=6$ cm。 开始时盛满溶液。当容器中溶液深为 $h=12$ cm 时，其表面（即液面）下降速率 $\displaystyle \frac{dh}{dt} = -1$ cm/min（下降取负）。 此时溶液被抽入圆柱形筒中，圆柱直径 $d=10$ cm，半径 $r_0=5$ cm。 要求此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率。
**解** 设圆锥容器内任意时刻溶液深度为 $h$，对应的液面半径为 $r$。由相似三角形： $$ \frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} $$ 所以 $$ r = \frac{h}{3}. $$
圆锥内溶液体积为 $$ V_{\text{锥}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{h^2}{9} \cdot h = \frac{\pi}{27} h^3. $$
设圆柱筒内液面高度为 $y$（从筒底算起），圆柱底面积 $A = \pi (5)^2 = 25\pi$，则圆柱内溶液体积为 $$ V_{\text{柱}} = 25\pi y. $$
由于溶液总量不变（忽略抽入过程的损耗），圆锥减少的体积等于圆柱增加的体积，即 $$ V_{\text{锥0}} - V_{\text{锥}} = V_{\text{柱}}, $$ 其中 $V_{\text{锥0}}$ 是圆锥初始满时的体积： $$ V_{\text{锥0}} = \frac{\pi}{27} (18)^3 = \frac{\pi}{27} \cdot 5832 = 216\pi. $$ 因此 $$ 216\pi - \frac{\pi}{27} h^3 = 25\pi y. $$ 两边除以 $\pi$： $$ 216 - \frac{h^3}{27} = 25y. $$
对时间 $t$ 求导： $$ -\frac{1}{27} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = 25 \frac{dy}{dt}. $$ 即 $$ -\frac{h^2}{9} \frac{dh}{dt} = 25 \frac{dy}{dt}. $$
代入已知：$h=12$，$\displaystyle \frac{dh}{dt} = -1$，得 $$ -\frac{12^2}{9} \cdot (-1) = 25 \frac{dy}{dt}, $$ $$ \frac{144}{9} = 25 \frac{dy}{dt}, $$ $$ 16 = 25 \frac{dy}{dt}, $$ 所以 $$ \frac{dy}{dt} = \frac{16}{25} = 0.64 \ \mathrm{cm/min}. $$
**答**：此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为 $0.64\ \mathrm{cm/min}$。
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**习题2-2 第23题**
**题意分析** 石头落入平静水面，产生同心波纹，最外一圈波半径的增大率 $\displaystyle \frac{dr}{dt} = 6$ m/s（恒定）。 求在 $t=2$ s 末，扰动水面面积（即最外圈圆面积）的增大率。
**解** 设最外圈半径为 $r$，则扰动水面面积 $$ S = \pi r^2. $$ 对时间求导： $$ \frac{dS}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}. $$
已知 $\displaystyle \frac{dr}{dt}=6$ m/s，且 $t=2$ s 时，半径 $$ r = 6 \times 2 = 12 \ \mathrm{m}. $$ 代入得 $$ \frac{dS}{dt} = 2\pi \cdot 12 \cdot 6 = 144\pi \ \mathrm{m^2/s}. $$
**答**：在 2 s 末扰动水面面积的增大率为 $144\pi\ \mathrm{m^2/s}$。