同济高数 第7章 第7-6-4题
📝 题目
4．验证： （1）$\displaystyle y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{2 x}+\frac{1}{12} \mathrm{e}^{5 x}$（ $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{5 x}$ 的通解； （2）$\displaystyle y=C_{1} \cos 3 x+C_{2} \sin 3 x+\frac{1}{32}(4 x \cos x+\sin x) \quad\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}+9 y=x \cos x$ 的通解； （3）$y=C_{1} x^{2}+C_{2} x^{2} \ln x$（ $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数）是方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0$ 的通解； （4）$\displaystyle y=C_{1} x^{5}+\frac{C_{2}}{x}-\frac{x^{2}}{9} \ln x\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 是任意常数）是方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}-5 y=x^{2} \ln x$ 的通解； （5）$\displaystyle y=\frac{1}{x}\left(C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}\right)+\frac{\mathrm{e}^{x}}{2}\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 是任意常数）是方程 $x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-x y=\mathrm{e}^{x}$ 的通解； （6）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}+C_{3} \cos x+C_{4} \sin x-x^{2}$（ $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ 是任意常数）是方程 $y^{(4)}-y=x^{2}$ 的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们逐小题验证所给函数是否为对应微分方程的通解。验证方法：将函数代入方程，检查是否满足方程，并确认自由常数个数等于方程阶数。
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### （1） 方程： $$ y'' - 3y' + 2y = e^{5x} $$ 给定解： $$ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + \frac{1}{12} e^{5x} $$ 先求齐次解部分：特征方程 $$ r^2 - 3r + 2 = 0 \implies r_1=1,\ r_2=2 $$ 齐次通解为 $C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$，正确。 再验证特解：设 $y_p = A e^{5x}$，代入： $$ y_p' = 5A e^{5x},\quad y_p'' = 25A e^{5x} $$ $$ 25A e^{5x} - 15A e^{5x} + 2A e^{5x} = (12A) e^{5x} = e^{5x} \implies A = \frac{1}{12} $$ 特解正确，所以是通解。 难度：★☆☆☆☆
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### （2） 方程： $$ y'' + 9y = x \cos x $$ 给定解： $$ y = C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x + \frac{1}{32}(4x \cos x + \sin x) $$ 齐次特征方程： $$ r^2 + 9 = 0 \implies r = \pm 3i $$ 齐次通解为 $C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x$，正确。 验证特解：设 $y_p = (Ax + B)\cos x + (Cx + D)\sin x$，代入方程可解得系数，此处直接验证给定形式： 计算 $$ y_p = \frac{4x\cos x + \sin x}{32} $$ 求导： $$ y_p' = \frac{4\cos x - 4x\sin x + \cos x}{32} = \frac{5\cos x - 4x\sin x}{32} $$ $$ y_p'' = \frac{-5\sin x - 4\sin x - 4x\cos x}{32} = \frac{-9\sin x - 4x\cos x}{32} $$ 代入： $$ y_p'' + 9y_p = \frac{-9\sin x - 4x\cos x}{32} + \frac{36x\cos x + 9\sin x}{32} = \frac{32x\cos x}{32} = x\cos x $$ 成立。因此是通解。 难度：★★☆☆☆
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### （3） 方程： $$ x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0 $$ 给定解： $$ y = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln x $$ 这是欧拉方程，令 $y = x^r$，代入得： $$ r(r-1) - 3r + 4 = r^2 - 4r + 4 = (r-2)^2 = 0 $$ 重根 $r=2$，通解为 $x^2(C_1 + C_2 \ln x)$，完全一致。 难度：★☆☆☆☆
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### （4） 方程： $$ x^2 y'' - 3x y' - 5y = x^2 \ln x $$ 给定解： $$ y = C_1 x^5 + \frac{C_2}{x} - \frac{x^2}{9} \ln x $$ 齐次部分：特征方程 $$ r(r-1) - 3r - 5 = r^2 - 4r - 5 = (r-5)(r+1)=0 $$ 根为 $r=5,\ r=-1$，齐次通解 $C_1 x^5 + C_2 x^{-1}$，正确。 特解验证：设 $y_p = A x^2 \ln x$，代入： $$ y_p' = 2A x \ln x + A x,\quad y_p'' = 2A \ln x + 3A $$ 代入方程： $$ x^2(2A\ln x + 3A) - 3x(2A x \ln x + A x) - 5A x^2 \ln x $$ 化简： $$ (2A - 6A - 5A)x^2 \ln x + (3A - 3A)x^2 = (-9A)x^2 \ln x $$ 令等于 $x^2 \ln x$，得 $A = -\frac{1}{9}$，与给定一致。 难度：★★☆☆☆
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### （5） 方程： $$ x y'' + 2y' - x y = e^x $$ 给定解： $$ y = \frac{1}{x}(C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}) + \frac{e^x}{2} $$ 齐次部分：令 $u = xy$，可化为常系数，这里直接验证齐次解形式： 设 $y = \frac{e^{kx}}{x}$，代入齐次方程可得 $k^2 - 1 = 0$，所以 $k = \pm 1$，齐次通解正确。 特解：设 $y_p = A e^x$，代入： $$ y_p' = A e^x,\quad y_p'' = A e^x $$ $$ x A e^x + 2A e^x - x A e^x = 2A e^x = e^x \implies A = \frac12 $$ 所以是通解。 难度：★★☆☆☆
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### （6） 方程： $$ y^{(4)} - y = x^2 $$ 给定解： $$ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x - x^2 $$ 齐次特征方程： $$ r^4 - 1 = (r^2-1)(r^2+1)=0 \implies r = \pm1,\ \pm i $$ 齐次通解正确。 特解：设 $y_p = Ax^2 + Bx + C$，代入： $$ y_p^{(4)} = 0,\quad -y_p = -Ax^2 - Bx - C = x^2 $$ 得 $A = -1,\ B=0,\ C=0$，即 $-x^2$，与给定一致。 难度：★★☆☆☆
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**最终难度评级**： （1）★☆☆☆☆ （2）★★☆☆☆ （3）★☆☆☆☆ （4）★★☆☆☆ （5）★★☆☆☆ （6）★★☆☆☆