同济高数 第7章 第7-6-*5题
📝 题目
＊5．已知 $y_{1}(x)=\mathrm{e}^{x}$ 是齐次线性方程
$$ (2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0 $$
的一个解，求此方程的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知 $y_1(x)=e^x$ 是齐次线性微分方程 $$ (2x-1)y''-(2x+1)y'+2y=0 $$ 的一个解，要求通解。 由于是二阶线性齐次方程，且已知一个解，可用降阶法（刘维尔公式）求另一个线性无关的解。
**第一步：将方程化为标准形式** 方程两边除以 $2x-1$（注意 $x\neq \frac12$），得 $$ y'' - \frac{2x+1}{2x-1}y' + \frac{2}{2x-1}y = 0 $$ 这里 $$ P(x) = -\frac{2x+1}{2x-1} $$
**第二步：利用刘维尔公式求第二个解** 设 $y_2(x) = y_1(x) \cdot u(x)$，其中 $$ u(x) = \int \frac{1}{y_1^2} e^{-\int P(x)\,dx} \, dx $$ 先计算 $$ \int P(x)\,dx = \int -\frac{2x+1}{2x-1} dx $$ 做多项式除法： $$ \frac{2x+1}{2x-1} = 1 + \frac{2}{2x-1} $$ 因此 $$ \int P(x)\,dx = -\int \left(1 + \frac{2}{2x-1}\right) dx = -x - \ln|2x-1| + C $$ 所以 $$ e^{-\int P(x)\,dx} = e^{x + \ln|2x-1|} = (2x-1)e^x $$ 又因为 $y_1(x)=e^x$，所以 $$ \frac{1}{y_1^2} = e^{-2x} $$ 于是 $$ u(x) = \int e^{-2x} \cdot (2x-1)e^x \, dx = \int (2x-1)e^{-x} dx $$
**第三步：计算积分** 用分部积分： 令 $u=2x-1$，$dv=e^{-x}dx$，则 $du=2dx$，$v=-e^{-x}$ $$ \int (2x-1)e^{-x}dx = -(2x-1)e^{-x} + \int 2 e^{-x} dx $$ $$ = -(2x-1)e^{-x} - 2e^{-x} = -(2x+1)e^{-x} $$ 因此 $$ u(x) = -(2x+1)e^{-x} $$ 取一个特解时忽略常数，则 $$ y_2(x) = y_1(x) \cdot u(x) = e^x \cdot \left[-(2x+1)e^{-x}\right] = -(2x+1) $$ 常数倍可忽略，取 $$ y_2(x) = 2x+1 $$
**第四步：写出通解** 两个线性无关解为 $e^x$ 与 $2x+1$，通解为 $$ \boxed{y = C_1 e^{x} + C_2 (2x+1)} $$
难度：★★☆☆☆