同济高数 第7章 第7-7-1题

教材习题

📝 题目

1．下题中给出了四个结论，从中选一个正确的结论： 在下列微分方程中，以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{-x}+C_{2} \cos x+C_{3} \sin x\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right.$ 为任意常数）为通解的常系数齐次线性微分方程是 ）． （A）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0$ （C）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ （D）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 已知通解为 $$ y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos x + C_3 \sin x $$ 对应的特征根为 $$ r_1 = -1,\quad r_2 = i,\quad r_3 = -i $$ 特征多项式为 $$ (r + 1)(r - i)(r + i) = (r+1)(r^2 + 1) $$ 展开计算： $$ (r+1)(r^2+1) = r^3 + r^2 + r + 1 $$ 因此特征方程为 $$ r^3 + r^2 + r + 1 = 0 $$ 对应的微分方程为 $$ y''' + y'' + y' + y = 0 $$ 对照选项，此为（B）。

故正确选项为： $$ \boxed{B} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：根据通解形式确定特征根
通解为 y = C1 e^{-x} + C2 cos x + C3 sin x，对应的特征根为 r1 = -1, r2 = i, r3 = -i。
提示：注意 cos x 和 sin x 对应共轭复根 ±i。
步骤 2/5
目标：由特征根写出特征多项式
特征多项式为 (r+1)(r-i)(r+i) = (r+1)(r^2+1)。
公式：(r+1)(r^2+1) = r^3 + r^2 + r + 1
提示：展开时注意多项式乘法。
步骤 3/5
目标：由特征多项式得到特征方程
特征方程为 r^3 + r^2 + r + 1 = 0。
步骤 4/5
目标：由特征方程写出微分方程
特征方程对应微分方程为 y''' + y'' + y' + y = 0。
提示：特征方程 r^n + a_{n-1} r^{n-1} + ... + a_0 = 0 对应微分方程 y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + ... + a_0 y = 0。
步骤 5/5
目标：对照选项选择正确答案
选项 (B) 为 y''' + y'' + y' + y = 0，与所求一致。

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