同济高数 第7章 第7-7-2题
📝 题目
2．求下列微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ ； （2）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=0$ ； （3）$y^{\prime \prime}+y=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0$ ； （5） $\displaystyle 4 \frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}-20 \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+25 x=0$ ； （6）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$ ； （7）$y^{(4)}-y=0$ ； （8）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0$ ； （9）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0$ ； （10）$y^{(4)}+5 y^{\prime \prime}-36 y=0$ ．
💡 答案解析
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以下为各小题的详细求解步骤。
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### （1）$y'' + y' - 2y = 0$
特征方程： $$ r^2 + r - 2 = 0 $$ 解得： $$ r_1 = 1,\quad r_2 = -2 $$ 通解： $$ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} $$
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### （2）$y'' - 4y' = 0$
特征方程： $$ r^2 - 4r = 0 \implies r(r-4)=0 $$ 解得： $$ r_1 = 0,\quad r_2 = 4 $$ 通解： $$ y = C_1 + C_2 e^{4x} $$
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### （3）$y'' + y = 0$
特征方程： $$ r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i $$ 通解： $$ y = C_1 \cos x + C_2 \sin x $$
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### （4）$y'' + 6y' + 13y = 0$
特征方程： $$ r^2 + 6r + 13 = 0 $$ 解得： $$ r = -3 \pm 2i $$ 通解： $$ y = e^{-3x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) $$
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### （5）$4 \displaystyle{\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}} - 20 \displaystyle{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} + 25x = 0$
特征方程： $$ 4r^2 - 20r + 25 = 0 $$ 解得： $$ r = \frac{5}{2} \quad (\text{重根}) $$ 通解： $$ x(t) = (C_1 + C_2 t) e^{\frac{5}{2}t} $$
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### （6）$y'' - 4y' + 5y = 0$
特征方程： $$ r^2 - 4r + 5 = 0 $$ 解得： $$ r = 2 \pm i $$ 通解： $$ y = e^{2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) $$
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### （7）$y^{(4)} - y = 0$
特征方程： $$ r^4 - 1 = 0 \implies (r^2 - 1)(r^2 + 1) = 0 $$ 解得： $$ r = \pm 1,\quad r = \pm i $$ 通解： $$ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x $$
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### （8）$y^{(4)} + 2y'' + y = 0$
特征方程： $$ r^4 + 2r^2 + 1 = 0 \implies (r^2 + 1)^2 = 0 $$ 解得： $$ r = \pm i \quad (\text{均为二重根}) $$ 通解： $$ y = (C_1 + C_2 x)\cos x + (C_3 + C_4 x)\sin x $$
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### （9）$y^{(4)} - 2y''' + y'' = 0$
特征方程： $$ r^4 - 2r^3 + r^2 = 0 \implies r^2(r^2 - 2r + 1) = r^2(r-1)^2 = 0 $$ 解得： $$ r = 0\ (\text{二重}),\quad r = 1\ (\text{二重}) $$ 通解： $$ y = C_1 + C_2 x + (C_3 + C_4 x)e^{x} $$
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### （10）$y^{(4)} + 5y'' - 36y = 0$
特征方程： $$ r^4 + 5r^2 - 36 = 0 $$ 令 $u = r^2$，则： $$ u^2 + 5u - 36 = 0 \implies u = 4,\ u = -9 $$ 所以： $$ r^2 = 4 \implies r = \pm 2,\quad r^2 = -9 \implies r = \pm 3i $$ 通解： $$ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + C_3 \cos 3x + C_4 \sin 3x $$
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难度评级：★★☆☆☆ （均为常系数线性齐次微分方程，只需解特征方程并写出通解形式，计算量小，规律性强。）