同济高数 第7章 第7-8-6题
📝 题目
6．设函数 $\varphi(x)$ 连续，且满足
$$ \varphi(x)=\mathrm{e}^{x}+\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \varphi(t) \mathrm{d} t-x \displaystyle{\int}_{0}^{x} \varphi(t) \mathrm{d} t, $$
求 $\varphi(x)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知函数 $\varphi(x)$ 连续，且满足积分方程：
$$ \varphi(x) = e^x + \int_{0}^{x} t \varphi(t) \, dt - x \int_{0}^{x} \varphi(t) \, dt. $$
**第一步：将方程化为微分方程** 两边对 $x$ 求导。注意右边含有变上限积分，应用莱布尼茨法则：
- 对 $e^x$ 求导得 $e^x$。 - 对 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \varphi(t) \, dt$ 求导得 $x \varphi(x)$。 - 对 $-x \displaystyle{\int}_{0}^{x} \varphi(t) \, dt$ 求导，使用乘积法则： $$ \frac{d}{dx}\left[-x \int_{0}^{x} \varphi(t) dt\right] = -\int_{0}^{x} \varphi(t) dt - x \varphi(x). $$
因此求导后得到： $$ \varphi'(x) = e^x + x\varphi(x) - \int_{0}^{x} \varphi(t) dt - x\varphi(x) = e^x - \int_{0}^{x} \varphi(t) dt. $$
于是： $$ \varphi'(x) = e^x - \int_{0}^{x} \varphi(t) dt. \tag{1} $$
**第二步：再求一次导** 对 (1) 两边再对 $x$ 求导： $$ \varphi''(x) = e^x - \varphi(x). $$
因此得到二阶线性微分方程： $$ \varphi''(x) + \varphi(x) = e^x. \tag{2} $$
**第三步：解微分方程** 齐次方程 $\varphi'' + \varphi = 0$ 的通解为： $$ \varphi_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x. $$
非齐次项 $e^x$，设特解形式 $\varphi_p(x) = A e^x$，代入 (2)： $$ A e^x + A e^x = 2A e^x = e^x \quad\Rightarrow\quad A = \frac12. $$
所以通解为： $$ \varphi(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \frac12 e^x. $$
**第四步：利用初始条件定常数** 在原方程中令 $x=0$： $$ \varphi(0) = e^0 + \int_{0}^{0} t\varphi(t) dt - 0 \cdot \int_{0}^{0} \varphi(t) dt = 1. $$ 因此 $\varphi(0) = 1$，代入通解： $$ C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 + \frac12 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac12. $$
再使用 (1) 式在 $x=0$ 的条件： 由 (1) 得 $\varphi'(0) = e^0 - \int_{0}^{0} \varphi(t) dt = 1$。 对通解求导： $$ \varphi'(x) = -C_1 \sin x + C_2 \cos x + \frac12 e^x, $$ 代入 $x=0$： $$ \varphi'(0) = 0 + C_2 + \frac12 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac12. $$
**第五步：写出最终结果** 因此： $$ \varphi(x) = \frac12 \cos x + \frac12 \sin x + \frac12 e^x = \frac12 \bigl( e^x + \cos x + \sin x \bigr). $$
最终答案为： $$ \boxed{\varphi(x) = \frac12 (e^x + \cos x + \sin x)} $$
难度：★★☆☆☆ （主要考察含参变量积分求导与简单二阶常系数线性微分方程求解，步骤清晰，计算量不大。）