同济高数 第10章 第10-4-2题

教材习题

📝 题目

2．求雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=2 x$ 所割下部分的曲面面积．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们要求曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 被柱面 $z^2 = 2x$ 所割下部分的面积。 首先分析两个曲面的交线。由 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $z^2 = 2x$ 可得 $$ x^2 + y^2 = 2x \quad\Rightarrow\quad (x-1)^2 + y^2 = 1. $$ 因此交线在 $xy$ 平面上的投影是圆心在 $(1,0)$、半径为 $1$ 的圆。 曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是锥面，其面积元素为 $$ dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy. $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}. $$ 于是 $$ 1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{x^2+y^2} + \frac{y^2}{x^2+y^2} = 1 + 1 = 2. $$ 所以 $$ dS = \sqrt{2}\,dx\,dy. $$ 所求曲面面积即为在投影区域 $D: (x-1)^2 + y^2 \le 1$ 上的积分： $$ A = \iint_D \sqrt{2}\,dx\,dy = \sqrt{2} \cdot \text{Area}(D). $$ 区域 $D$ 是半径为 $1$ 的圆，面积为 $\pi \cdot 1^2 = \pi$。 因此 $$ A = \sqrt{2}\,\pi. $$

**难度评级**：★★☆☆☆ （计算步骤直接，只需识别投影区域与面积元素，属于中等偏易的曲面积分题。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：求曲面与柱面的交线在xy平面上的投影
由曲面方程 z = √(x²+y²) 和柱面方程 z² = 2x 联立，消去 z 得 x²+y² = 2x，即 (x-1)²+y² = 1。因此交线在 xy 平面上的投影是圆心在 (1,0)、半径为 1 的圆。
公式：x²+y² = 2x → (x-1)²+y² = 1
提示：注意柱面方程 z²=2x 隐含 x≥0，但投影圆满足 x≥0。
步骤 2/3
目标：计算曲面的面积元素 dS
曲面 z = √(x²+y²) 的偏导数为 ∂z/∂x = x/√(x²+y²)，∂z/∂y = y/√(x²+y²)。则 1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)² = 1 + x²/(x²+y²) + y²/(x²+y²) = 2，所以 dS = √2 dx dy。
公式：dS = √(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²) dx dy = √2 dx dy
提示：锥面的面积元素为常数，简化计算。
步骤 3/3
目标：确定积分区域并计算面积
所求曲面在 xy 平面上的投影区域 D 为圆 (x-1)²+y² ≤ 1，面积为 π×1² = π。因此曲面面积 A = ∬_D √2 dx dy = √2 × Area(D) = √2 π。
公式：A = ∬_D dS = √2 ∬_D dx dy = √2 π
提示：投影区域是半径为1的圆，面积直接使用圆面积公式。

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