同济高数 第10章 第10-4-7题
📝 题目
7．设有一等腰直角三角形薄片，腰长为 $a$ ，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们建立坐标系：将直角顶点放在原点 $O(0,0)$，两条腰分别沿 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向，则斜边方程为 $x + y = a$，其中 $x \ge 0, y \ge 0$。 面密度函数为 $$ \rho(x,y) = x^2 + y^2 $$ 因为该点到原点距离的平方。
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**第一步：求质量 $M$** 质量 $$ M = \iint\limits_{D} \rho(x,y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 积分区域 $D$ 为等腰直角三角形： $$ 0 \le x \le a,\quad 0 \le y \le a - x $$ 所以 $$ M = \int_{0}^{a} \int_{0}^{a-x} (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{a-x} (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}y = x^2 (a-x) + \frac{(a-x)^3}{3} $$ 于是 $$ M = \int_{0}^{a} \left[ x^2 (a-x) + \frac{(a-x)^3}{3} \right] \mathrm{d}x $$ 分别计算： $$ \int_{0}^{a} x^2 (a-x) \, \mathrm{d}x = a \cdot \frac{a^3}{3} - \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{3} - \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{12} $$ $$ \int_{0}^{a} \frac{(a-x)^3}{3} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{12} $$ 所以 $$ M = \frac{a^4}{12} + \frac{a^4}{12} = \frac{a^4}{6} $$
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**第二步：求静力矩 $M_x$ 与 $M_y$**
对 $y$ 轴的静力矩 $$ M_y = \iint\limits_{D} x \rho(x,y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{0}^{a} \int_{0}^{a-x} x (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{a-x} x (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}y = x \left[ x^2(a-x) + \frac{(a-x)^3}{3} \right] $$ $$ = x^3 (a-x) + \frac{x (a-x)^3}{3} $$ 再对 $x$ 积分： 第一部分： $$ \int_{0}^{a} x^3 (a-x) \, \mathrm{d}x = a \cdot \frac{a^4}{4} - \frac{a^5}{5} = \frac{a^5}{4} - \frac{a^5}{5} = \frac{a^5}{20} $$ 第二部分： $$ \int_{0}^{a} \frac{x (a-x)^3}{3} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} \int_{0}^{a} x (a-x)^3 \, \mathrm{d}x $$ 令 $t = a-x$，则 $x = a-t$，$\mathrm{d}x = -\mathrm{d}t$，当 $x=0$ 时 $t=a$，$x=a$ 时 $t=0$， $$ \int_{0}^{a} x (a-x)^3 \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{0} (a-t) t^3 (-\mathrm{d}t) = \int_{0}^{a} (a t^3 - t^4) \, \mathrm{d}t = a \cdot \frac{a^4}{4} - \frac{a^5}{5} = \frac{a^5}{4} - \frac{a^5}{5} = \frac{a^5}{20} $$ 所以第二部分为 $$ \frac{1}{3} \cdot \frac{a^5}{20} = \frac{a^5}{60} $$ 因此 $$ M_y = \frac{a^5}{20} + \frac{a^5}{60} = \frac{3a^5 + a^5}{60} = \frac{4a^5}{60} = \frac{a^5}{15} $$
由对称性（交换 $x$ 与 $y$ 地位相同）， $$ M_x = \iint y \rho \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{a^5}{15} $$
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**第三步：求质心坐标** $$ \bar{x} = \frac{M_y}{M} = \frac{\frac{a^5}{15}}{\frac{a^4}{6}} = \frac{a^5}{15} \cdot \frac{6}{a^4} = \frac{2a}{5} $$ $$ \bar{y} = \frac{M_x}{M} = \frac{2a}{5} $$
因此质心为 $$ \boxed{\left( \frac{2a}{5},\ \frac{2a}{5} \right)} $$
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难度：★★☆☆☆ （计算量适中，但思路直接，属于常规二重积分应用）