同济高数 第10章 第10-5-5题

教材习题

📝 题目

5．计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \sin \left(\ln \frac{1}{x}\right) \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(0\lt a\lt b)$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

我们分别计算两个积分。

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### （1） 计算 $$ I = \int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}} $$

**步骤1：变量代换** 令 $ x = \sin t $，则 $ t \in [0, \frac{\pi}{2}] $， $$ \mathrm{d}x = \cos t \, \mathrm{d}t, \quad \sqrt{1-x^2} = \cos t $$ 于是 $$ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = \mathrm{d}t $$ 且 $$ \frac{\arctan x}{x} = \frac{\arctan(\sin t)}{\sin t} $$ 所以 $$ I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\arctan(\sin t)}{\sin t} \, \mathrm{d}t $$

**步骤2：利用积分公式** 考虑含参积分 $$ F(a) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\arctan(a \sin t)}{\sin t} \, \mathrm{d}t $$ 则 $ F(0)=0 $，且 $$ F'(a) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1 + a^2 \sin^2 t} \, \mathrm{d}t $$ 这是一个标准积分，结果为 $$ \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}t}{1 + a^2 \sin^2 t} = \frac{\pi}{2\sqrt{1+a^2}} $$ 因此 $$ F'(a) = \frac{\pi}{2\sqrt{1+a^2}} $$ 积分得 $$ F(a) = \frac{\pi}{2} \ln\left(a + \sqrt{1+a^2}\right) $$ 令 $ a = 1 $，得 $$ I = F(1) = \frac{\pi}{2} \ln(1+\sqrt{2}) $$

因此 $$ \boxed{\displaystyle \frac{\pi}{2}\ln(1+\sqrt{2})} $$

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### （2） 计算 $$ J = \int_{0}^{1} \sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \, \mathrm{d}x, \quad 0 < a < b $$

**步骤1：变量代换** 令 $ t = -\ln x $，则 $ x = e^{-t} $，$ \mathrm{d}x = -e^{-t} \mathrm{d}t $，当 $ x:0\to 1 $ 时，$ t:\infty \to 0 $。 于是 $$ \sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) = \sin t $$ $$ x^{b} - x^{a} = e^{-b t} - e^{-a t} $$ $$ \ln x = -t $$ 因此 $$ \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \mathrm{d}x = \frac{e^{-b t} - e^{-a t}}{-t} \cdot (-e^{-t} \mathrm{d}t) = \frac{e^{-b t} - e^{-a t}}{t} e^{-t} \mathrm{d}t $$ 注意符号： 原积分 $$ J = \int_{0}^{1} \sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \mathrm{d}x $$ 代换后，积分限变为 $ t:\infty \to 0 $，需交换上下限，得 $$ J = \int_{0}^{\infty} \sin t \cdot \frac{e^{-(a+1)t} - e^{-(b+1)t}}{t} \, \mathrm{d}t $$

**步骤2：利用Frullani型积分公式** 已知公式（可视为正弦变换的Frullani型）： $$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} \left(e^{-\alpha t} - e^{-\beta t}\right) \mathrm{d}t = \arctan\frac{1}{\alpha} - \arctan\frac{1}{\beta}, \quad \alpha,\beta > 0 $$ 这里 $\alpha = a+1$，$\beta = b+1$，所以 $$ J = \arctan\frac{1}{a+1} - \arctan\frac{1}{b+1} $$ 也可写作 $$ J = \arctan\left( \frac{b-a}{(a+1)(b+1)+1} \right) $$ 但最简形式为 $$ \boxed{\displaystyle \arctan\frac{1}{a+1} - \arctan\frac{1}{b+1}} $$

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**难度评级**：★★★★☆ 两个积分均需巧妙的变量代换与含参积分或特殊积分公式，技巧性较强。

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：计算积分 (1) I = ∫₀¹ (arctan x)/x * dx/√(1-x²)
令 x = sin t，则 t ∈ [0, π/2]，dx = cos t dt，√(1-x²) = cos t，所以 dx/√(1-x²) = dt，且 arctan x / x = arctan(sin t)/sin t，因此 I = ∫₀^{π/2} arctan(sin t)/sin t dt。
公式：x = sin t, dx = cos t dt, √(1-x²) = cos t
提示：注意积分限变化：x从0到1对应t从0到π/2。
步骤 2/6
目标：引入含参积分 F(a) = ∫₀^{π/2} arctan(a sin t)/sin t dt
定义 F(a) = ∫₀^{π/2} arctan(a sin t)/sin t dt，则 F(0)=0，且 F'(a) = ∫₀^{π/2} 1/(1+a² sin² t) dt。
公式：F'(a) = ∫₀^{π/2} dt/(1+a² sin² t)
提示：对参数a求导，交换积分与求导顺序。
步骤 3/6
目标：计算 F'(a) 的积分
利用标准积分公式：∫₀^{π/2} dt/(1+a² sin² t) = π/(2√(1+a²))，所以 F'(a) = π/(2√(1+a²))。
公式：∫₀^{π/2} dt/(1+a² sin² t) = π/(2√(1+a²))
提示：该积分可通过万能代换或查表得到。
步骤 4/6
目标：积分得到 F(a) 并代入 a=1
对 F'(a) 积分得 F(a) = (π/2) ln(a + √(1+a²)) + C，由 F(0)=0 得 C=0，所以 F(1) = (π/2) ln(1+√2)。
公式：∫ da/√(1+a²) = ln(a+√(1+a²))
提示：注意积分常数由初始条件确定。
步骤 5/6
目标：计算积分 (2) J = ∫₀¹ sin(ln(1/x)) (x^b - x^a)/ln x dx
令 t = -ln x，则 x = e^{-t}，dx = -e^{-t} dt，当 x:0→1 时 t:∞→0，交换积分限得 J = ∫₀^∞ sin t * (e^{-(a+1)t} - e^{-(b+1)t})/t dt。
公式：t = -ln x, x = e^{-t}, dx = -e^{-t} dt
提示：注意符号变化和积分限交换。
步骤 6/6
目标：利用 Frullani 型积分公式
已知公式 ∫₀^∞ (sin t)/t (e^{-αt} - e^{-βt}) dt = arctan(1/α) - arctan(1/β) (α,β>0)，这里 α=a+1，β=b+1，所以 J = arctan(1/(a+1)) - arctan(1/(b+1))。
公式：∫₀^∞ (sin t)/t (e^{-αt} - e^{-βt}) dt = arctan(1/α) - arctan(1/β)
提示：该公式可通过拉普拉斯变换或含参积分证明。

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