同济高数 第11章 第11-2-5题

教材习题

📝 题目

5．一力场由沿横轴正方向的恒力 $F$ 所构成。试求当一质量为 $m$ 的质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们考虑一力场由沿横轴正方向的恒力 $F$ 构成，即力向量为 $$ \mathbf{F} = (F, 0) $$ 其中 $F$ 是常数。质点沿圆周 $x^2 + y^2 = R^2$ 在第一象限逆时针移动，即从点 $(R,0)$ 到点 $(0,R)$。

功的计算公式为 $$ W = \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $$ 其中 $C$ 是运动路径。将路径参数化：取参数 $t$ 为角度，令 $$ x = R\cos t,\quad y = R\sin t,\quad t: 0 \to \frac{\pi}{2} $$ 于是 $$ d\mathbf{r} = (-R\sin t\, dt,\; R\cos t\, dt) $$ 力向量为 $$ \mathbf{F} = (F, 0) $$ 点积为 $$ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = F \cdot (-R\sin t\, dt) + 0 \cdot (R\cos t\, dt) = -FR\sin t\, dt $$ 因此功为 $$ W = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-FR\sin t)\, dt = -FR \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t\, dt $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t\, dt = \left[-\cos t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (0) - (-1) = 1 $$ 所以 $$ W = -FR \cdot 1 = -FR $$ 负号表示场力方向与质点运动方向在水平分量上相反，即场力做负功。若只问做功大小，则结果为 $FR$，但按物理定义，功为 $-FR$。

因此，场力所做的功为 $$ \boxed{-FR} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：建立坐标系和力场模型
力场由沿横轴正方向的恒力F构成，因此力向量为F = (F, 0)。质点沿圆周x^2+y^2=R^2在第一象限逆时针移动，起点为(R,0)，终点为(0,R)。
公式：F = (F, 0)
提示：注意恒力方向沿x轴正方向。
步骤 2/4
目标：参数化路径
取角度t为参数，令x = R cos t, y = R sin t，t从0到π/2。则位移微元dr = (-R sin t dt, R cos t dt)。
公式：x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, π/2]
提示：逆时针方向对应t从0增加到π/2。
步骤 3/4
目标：计算点积
F·dr = (F, 0)·(-R sin t dt, R cos t dt) = -F R sin t dt。
公式：F·dr = -F R sin t dt
提示：点积只保留x分量。
步骤 4/4
目标：积分求功
功W = ∫_C F·dr = ∫_0^{π/2} (-F R sin t) dt = -F R ∫_0^{π/2} sin t dt = -F R [ -cos t ]_0^{π/2} = -F R (0 - (-1)) = -F R。
公式：W = -F R
提示：积分结果为负，表示力做负功。

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