同济高数 第11章 第11-2-6题
📝 题目
6．设 $z$ 轴与重力的方向一致，求质量为 $m$ 的质点从位置 $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 沿直线移到 $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 时重力所做的功．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
重力场可表示为 $\mathbf{F} = (0, 0, -mg)$，其中 $g$ 为重力加速度，负号表示方向与 $z$ 轴正向相反。 质点沿直线从点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 移动到 $P_2(x_2, y_2, z_2)$，位移向量为 $$ \Delta \mathbf{r} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1). $$
重力做功的计算公式为力与位移的点积： $$ W = \mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r}. $$
代入力的分量： $$ W = (0,\;0,\;-mg) \cdot (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) + 0 \cdot (y_2 - y_1) + (-mg)(z_2 - z_1). $$
因此： $$ W = -mg\,(z_2 - z_1) = mg\,(z_1 - z_2). $$
即重力做功只与竖直方向的高度差有关，与水平路径无关。
最终结果为： $$ \boxed{W = mg(z_1 - z_2)}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立重力场模型
重力方向与z轴一致，但方向相反，因此重力场可表示为向量F = (0, 0, -mg)，其中g为重力加速度，负号表示方向与z轴正向相反。
公式：F = (0, 0, -mg)
提示：注意重力方向与坐标轴方向的关系，负号不可遗漏。
步骤 2/4
目标：计算位移向量
质点从点P1(x1, y1, z1)沿直线移动到点P2(x2, y2, z2)，位移向量为Δr = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
公式：Δr = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
提示：位移向量是终点坐标减起点坐标。
步骤 3/4
目标：应用功的计算公式
重力做功等于力与位移的点积：W = F · Δr。代入F和Δr的分量，计算点积。
公式：W = F · Δr = (0,0,-mg)·(x2-x1, y2-y1, z2-z1) = 0*(x2-x1) + 0*(y2-y1) + (-mg)*(z2-z1)
提示：点积计算时，对应分量相乘再求和。
步骤 4/4
目标：化简结果
计算得到W = -mg(z2 - z1) = mg(z1 - z2)。
公式：W = mg(z1 - z2)
提示：最终结果只与竖直方向的高度差有关，与水平路径无关。
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