同济高数 第11章 第11-2-9题
📝 题目
9．设曲线 $\Gamma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴的正向看取逆时针方向，
$$ I=\displaystyle{\oint}_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z $$
试利用两类曲线积分之间的关系证明：$|I| \leqslant 2 \pi a^{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们首先将曲线积分转化为第一类曲线积分，利用两类曲线积分之间的关系：
设曲线 $\Gamma$ 的单位切向量为 $\vec{T}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，则 $$ I = \oint_\Gamma (z,x,y)\cdot \vec{T}\, \mathrm{d}s. $$ 由柯西-施瓦茨不等式， $$ |I| \le \oint_\Gamma \|(z,x,y)\| \cdot \|\vec{T}\|\, \mathrm{d}s = \oint_\Gamma \sqrt{x^2+y^2+z^2}\, \mathrm{d}s. $$ 由于 $\Gamma$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上，故 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a$ 为常数，因此 $$ |I| \le a \cdot \text{曲线 }\Gamma \text{ 的长度}. $$ 现在求曲线 $\Gamma$ 的长度。$\Gamma$ 是球面与过球心的平面 $x+y+z=0$ 的交线，因此它是一个半径为 $a$ 的球的大圆。大圆的半径等于球的半径 $a$，所以其周长为 $$ L = 2\pi a. $$ 于是 $$ |I| \le a \cdot (2\pi a) = 2\pi a^2. $$ 因此原不等式得证。
难度：★★☆☆☆