同济高数 第11章 第11-4-1题
📝 题目
1．设有一分布着质量的曲面 $\Sigma$ ，在点 $(x, y, z)$ 处它的面密度为 $\mu(x, y, z)$ ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 $x$ 轴的转动惯量．
💡 答案解析
[AI解答]
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设曲面 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的面密度为 $\mu(x, y, z)$。 对于曲面上的一个面积微元 $\mathrm{d}S$，其质量为 $$ \mathrm{d}m = \mu(x, y, z)\,\mathrm{d}S. $$ 该微元到 $x$ 轴的距离平方为 $$ y^2 + z^2. $$ 因此，该微元对 $x$ 轴的转动惯量为 $$ \mathrm{d}I_x = (y^2 + z^2)\,\mathrm{d}m = (y^2 + z^2)\,\mu(x, y, z)\,\mathrm{d}S. $$ 将整个曲面上所有微元的贡献累加，即得曲面 $\Sigma$ 对 $x$ 轴的转动惯量 $$ I_x = \displaystyle{\iint_{\Sigma}} (y^2 + z^2)\,\mu(x, y, z)\,\mathrm{d}S. $$
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立质量微元
在曲面 Σ 上取面积微元 dS，该微元的质量 dm 等于面密度 μ(x,y,z) 乘以面积微元 dS，即 dm = μ(x,y,z) dS。
公式：dm = μ(x,y,z) dS
提示：注意面密度是点函数，微元质量是密度与面积的乘积。
步骤 2/4
目标：确定微元到 x 轴的距离平方
点 (x,y,z) 到 x 轴的距离平方为 y² + z²，因为 x 轴上的点坐标为 (x,0,0)，距离平方为 (y-0)² + (z-0)² = y² + z²。
公式：距离平方 = y² + z²
提示：转动惯量中距离是点到转轴的垂直距离。
步骤 3/4
目标：写出微元对 x 轴的转动惯量
微元对 x 轴的转动惯量 dI_x 等于质量微元乘以距离平方，即 dI_x = (y² + z²) dm = (y² + z²) μ(x,y,z) dS。
公式：dI_x = (y² + z²) μ(x,y,z) dS
提示：转动惯量是标量，直接相加。
步骤 4/4
目标：积分得到总转动惯量
将整个曲面 Σ 上所有微元的转动惯量累加，即对曲面进行积分，得到 I_x = ∬_Σ (y² + z²) μ(x,y,z) dS。
公式：I_x = ∬_Σ (y² + z²) μ(x,y,z) dS
提示：这是对面积的曲面积分，积分区域为曲面 Σ。
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