同济高数 第11章 第11-4-3题
📝 题目
3．当 $\Sigma$ 是 $x O y$ 面内的一个闭区域时，曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 与二重积分有什么关系？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 当曲面 $\Sigma$ 是 $xOy$ 面内的一个闭区域时，该曲面实际上位于平面 $z = 0$ 上，且其法向量垂直于 $z$ 轴，因此曲面积分可以转化为二重积分。具体推导如下：
设 $\Sigma$ 为 $xOy$ 平面上的闭区域 $D$，则曲面的方程为 $z = 0$，且曲面面积元 $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{1+0+0}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$ 于是曲面积分 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \,\mathrm{d}S = \displaystyle{\iint}_{D} f(x, y, 0) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$ 因此，此时曲面积分退化为被积函数取 $z=0$ 后的二重积分。
难度评级：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确曲面Σ是xOy面内的闭区域
曲面Σ位于平面z=0上，且是xOy平面上的一个闭区域D。
提示：注意曲面是平的，法向量垂直于z轴。
步骤 2/3
目标：写出曲面面积元dS的表达式
对于曲面z=0，有∂z/∂x=0，∂z/∂y=0，所以dS = √(1+0+0) dxdy = dxdy。
公式：dS = √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy
提示：当曲面为平面时，面积元简化为dxdy。
步骤 3/3
目标：将曲面积分转化为二重积分
将dS替换为dxdy，并将z=0代入被积函数，得到∬_Σ f(x,y,z) dS = ∬_D f(x,y,0) dxdy。
公式：∬_Σ f(x,y,z) dS = ∬_D f(x,y,0) dxdy
提示：注意积分区域由曲面Σ变为其在xOy平面上的投影D。
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