同济高数 第11章 第11-5-4题
📝 题目
4．把对坐标的曲面积分
$$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$
化成对面积的曲面积分，其中 （1）$\Sigma$ 是平面 $3 x+2 y+2 \sqrt{3} z=6$ 在第 I 卦限的部分的上侧； （2）$\Sigma$ 是抛物面 $z=8-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在 $x O y$ 面上方的部分的上侧．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 曲面 $\Sigma$ 为平面 $3x+2y+2\sqrt{3}z=6$ 在第 I 卦限部分的上侧。 首先将平面方程写成 $z = z(x,y)$ 形式： $$ 3x+2y+2\sqrt{3}z = 6 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{6-3x-2y}{2\sqrt{3}}. $$
曲面的法向量方向：平面法向量为 $(3,2,2\sqrt{3})$，上侧意味着法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角，即法向量的 $z$ 分量 $2\sqrt{3}>0$，所以取该方向为正向。 单位法向量为： $$ \vec{n} = \frac{(3,2,2\sqrt{3})}{\sqrt{3^2+2^2+(2\sqrt{3})^2}} = \frac{(3,2,2\sqrt{3})}{\sqrt{9+4+12}} = \frac{(3,2,2\sqrt{3})}{5}. $$
方向余弦： $$ \cos\alpha = \frac{3}{5},\quad \cos\beta = \frac{2}{5},\quad \cos\gamma = \frac{2\sqrt{3}}{5}. $$
由对坐标曲面积分与对面积曲面积分的关系： $$ \iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_{\Sigma} (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\,dS. $$
代入方向余弦得： $$ \iint_{\Sigma} \left( \frac{3}{5}P + \frac{2}{5}Q + \frac{2\sqrt{3}}{5}R \right) dS. $$
因此结果为： $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} \frac{1}{5}\bigl(3P+2Q+2\sqrt{3}R\bigr)\,dS. $$
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**（2）** 曲面 $\Sigma$ 为抛物面 $z=8-(x^2+y^2)$ 在 $xOy$ 面上方部分的上侧。 曲面方程 $z=8-(x^2+y^2)$，上侧意味着法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角。 曲面可表示为 $F(x,y,z)=z+x^2+y^2-8=0$，梯度为： $$ \nabla F = (2x,2y,1). $$ 上侧要求法向量的 $z$ 分量为正，故取 $\vec{n} = (2x,2y,1)$ 方向。
单位法向量： $$ \vec{n} = \frac{(2x,2y,1)}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}}. $$
方向余弦： $$ \cos\alpha = \frac{2x}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}},\quad \cos\beta = \frac{2y}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}},\quad \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}}. $$
于是对坐标曲面积分化为对面积的曲面积分： $$ \iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_{\Sigma} \frac{2xP+2yQ+R}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}}\,dS. $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考查对坐标曲面积分与对面积曲面积分之间的转换公式，以及方向余弦的计算，属于基础题型。）