同济高数 第12章 第12-1-4题
📝 题目
4．判定下列级数的收敛性： （1）$\displaystyle -\frac{8}{9}+\frac{8^{2}}{9^{2}}-\frac{8^{3}}{9^{3}}+\cdots+(-1)^{n} \frac{8^{n}}{9^{n}}+\cdots$ ； （2）$\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{3 n}+\cdots$ ； （3）$\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[n]{3}}+\cdots$ ； （4）$\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{3^{2}}{2^{2}}+\frac{3^{3}}{2^{3}}+\cdots+\frac{3^{n}}{2^{n}}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}\right)+\left(\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)+\cdots$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们逐项判定每个级数的收敛性。
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### （1） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{8^n}{9^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{8}{9}\right)^n $$ 这是一个公比 $ r = -\frac{8}{9} $ 的等比级数。 因为 $|r| = \frac{8}{9} < 1$，所以该级数收敛。 **结论：收敛**
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### （2） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $$ 这是调和级数乘以常数，调和级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ 发散，因此原级数发散。 **结论：发散**
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### （3） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{3}} = \sum_{n=1}^{\infty} 3^{-1/n} $$ 当 $n \to \infty$ 时，$3^{-1/n} \to 3^0 = 1 \neq 0$，不满足级数收敛的必要条件（通项趋于0），因此发散。 **结论：发散**
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### （4） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{2}\right)^n $$ 公比 $ r = \frac{3}{2} > 1$，等比级数发散。 **结论：发散**
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### （5） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} $$ 这是两个收敛的等比级数之和（公比分别为 $\frac12$ 和 $\frac13$，均小于1），因此原级数收敛。 **结论：收敛**
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**难度评级：★☆☆☆☆** （均为直接使用等比级数或调和级数判别法，无需复杂技巧）