同济高数 第12章 第12-4-1题
📝 题目
1．求函数 $f(x)=\cos x$ 的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这函数．
💡 答案解析
[AI解答]
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**1. 求函数 $ f(x) = \cos x $ 的泰勒级数**
函数 $ f(x) = \cos x $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开公式为：
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n $$
先计算各阶导数在 $ x = 0 $ 处的值：
$$ \begin{aligned} f(x) &= \cos x, & f(0) &= 1, \\ f'(x) &= -\sin x, & f'(0) &= 0, \\ f''(x) &= -\cos x, & f''(0) &= -1, \\ f'''(x) &= \sin x, & f'''(0) &= 0, \\ f^{(4)}(x) &= \cos x, & f^{(4)}(0) &= 1, \\ \end{aligned} $$
可见导数呈现周期性，规律为：
$$ f^{(n)}(0) = \begin{cases} (-1)^{k}, & n = 2k, \\ 0, & n = 2k+1. \end{cases} $$
因此，泰勒级数只包含偶次项：
$$ \cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} $$
即：
$$ \boxed{\cos x = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}} $$
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**2. 验证它在整个数轴上收敛于 $\cos x$**
考虑余项（拉格朗日余项形式）：
对于任意实数 $x$，存在介于 $0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使得
$$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1} $$
由于 $\cos x$ 和 $\sin x$ 的任意阶导数绝对值不超过 1，即
$$ |f^{(n+1)}(\xi)| \le 1 $$
因此：
$$ |R_n(x)| \le \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} $$
对任意固定的 $x$，当 $n \to \infty$ 时，有
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} = 0 $$
这是因为阶乘的增长速度远大于指数函数。因此：
$$ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 $$
这说明泰勒级数在任意实数 $x$ 处都收敛到 $\cos x$，即在整个数轴上收敛。
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**难度评级**：★★☆☆☆