同济高数 第12章 第12-5-6题
📝 题目
6．利用欧拉公式将函数 $\mathrm{e}^{x} \cos x$ 展开成 $x$ 的幂级数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们先将函数 $e^{x} \cos x$ 用欧拉公式表示为指数形式。欧拉公式给出 $$ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}. $$ 因此 $$ e^{x} \cos x = e^{x} \cdot \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{1}{2} \left[ e^{(1+i)x} + e^{(1-i)x} \right]. $$
现在分别将两个指数函数展开为 $x$ 的幂级数。已知指数函数的展开式为 $$ e^{a x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n x^n}{n!}, $$ 因此 $$ e^{(1+i)x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n x^n}{n!}, \quad e^{(1-i)x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-i)^n x^n}{n!}. $$
于是 $$ e^{x} \cos x = \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{n!} x^n. $$
接下来将 $(1+i)^n + (1-i)^n$ 化为实三角形式。注意到 $$ 1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}, \quad 1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}, $$ 因此 $$ (1+i)^n = (\sqrt{2})^n e^{i n\pi/4}, \quad (1-i)^n = (\sqrt{2})^n e^{-i n\pi/4}. $$ 相加得 $$ (1+i)^n + (1-i)^n = (\sqrt{2})^n \left( e^{i n\pi/4} + e^{-i n\pi/4} \right) = 2 (\sqrt{2})^n \cos\frac{n\pi}{4}. $$
代入级数表达式： $$ e^{x} \cos x = \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 (\sqrt{2})^n \cos\frac{n\pi}{4}}{n!} x^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\sqrt{2})^n \cos\frac{n\pi}{4}}{n!} x^n. $$
因此，$e^{x}\cos x$ 展开成 $x$ 的幂级数为 $$ \boxed{e^{x}\cos x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n/2} \cos\frac{n\pi}{4}}{n!} x^n}. $$
难度：★★☆☆☆