同济高数 第12章 第12-6-1题
📝 题目
1．已知函数序列 $\displaystyle s_{n}(x)=\sin \frac{x}{n}(n=1,2,3, \cdots)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛于 0 ， （1）问 $N(\varepsilon, x)$ 取多大，能使当 $n\gt N$ 时，$s_{n}(x)$ 与其极限之差的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ； （2）证明 $s_{n}(x)$ 在任一有限区间 $[a, b]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）求 $N(\varepsilon, x)$** 已知函数序列 $\displaystyle s_n(x) = \sin\frac{x}{n}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上收敛于 0。 对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，要使 $$ |s_n(x) - 0| = \left|\sin\frac{x}{n}\right| < \varepsilon $$ 利用不等式 $|\sin t| \le |t|$，有 $$ \left|\sin\frac{x}{n}\right| \le \frac{|x|}{n} $$ 因此只需 $$ \frac{|x|}{n} < \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad n > \frac{|x|}{\varepsilon} $$ 取 $$ N(\varepsilon, x) = \left\lfloor \frac{|x|}{\varepsilon} \right\rfloor $$ （或取 $\displaystyle N = \left\lceil \frac{|x|}{\varepsilon} \right\rceil$），则当 $n > N$ 时，必有 $|s_n(x)-0|<\varepsilon$。
---
**（2）证明在任意有限区间 $[a,b]$ 上一致收敛** 设 $[a,b]$ 为任一有限闭区间，记 $$ M = \max\{|a|, |b|\} $$ 则对任意 $x \in [a,b]$，有 $|x| \le M$。 于是 $$ |s_n(x)-0| = \left|\sin\frac{x}{n}\right| \le \frac{|x|}{n} \le \frac{M}{n} $$ 对于任意 $\varepsilon > 0$，取 $\displaystyle N = \left\lceil \frac{M}{\varepsilon} \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 一致地有 $$ |s_n(x)-0| \le \frac{M}{n} < \varepsilon $$ 因此 $s_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 0。
---
**难度评级**：★★☆☆☆ （属于基本的一致收敛判定与估计问题，只需利用 $|\sin t| \le |t|$ 及一致收敛定义即可完成）