同济高数 第8章 第8-3-1题
📝 题目
1．求过点 $(3,0,-1)$ 且与平面 $3 x-7 y+5 z-12=0$ 平行的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知所求平面与给定平面 $3x - 7y + 5z - 12 = 0$ 平行，则它们的法向量相同。给定平面的法向量为 $$ \vec{n} = (3,\,-7,\,5). $$ 设所求平面方程为 $$ 3x - 7y + 5z + D = 0, $$ 其中 $D$ 为待定常数。
由于平面过点 $(3,0,-1)$，代入该点坐标： $$ 3(3) - 7(0) + 5(-1) + D = 0, $$ 即 $$ 9 - 5 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad D = -4. $$
因此所求平面方程为 $$ \boxed{3x - 7y + 5z - 4 = 0}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定所求平面的法向量
由于所求平面与给定平面 3x - 7y + 5z - 12 = 0 平行，因此它们的法向量相同。给定平面的法向量为 (3, -7, 5)。
公式：平面 Ax + By + Cz + D = 0 的法向量为 (A, B, C)
提示：平行平面的法向量相同
步骤 2/4
目标：设出所求平面方程
设所求平面方程为 3x - 7y + 5z + D = 0，其中 D 为待定常数。
提示：利用法向量相同，只需确定常数项 D
步骤 3/4
目标：代入已知点求解 D
将点 (3, 0, -1) 代入方程：3*3 - 7*0 + 5*(-1) + D = 0，即 9 - 5 + D = 0，解得 D = -4。
提示：注意代入时符号正确
步骤 4/4
目标：写出最终平面方程
将 D = -4 代入所设方程，得 3x - 7y + 5z - 4 = 0。
提示：最终方程应化简为一般式
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