同济高数 第8章 第8-3-2题
📝 题目
2．求过点 $M_{0}(2,9,-6)$ 且与连接坐标原点及点 $M_{0}$ 的线段 $O M_{0}$ 垂直的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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**解题步骤：**
1. 首先，连接坐标原点 $O(0,0,0)$ 与点 $M_0(2,9,-6)$ 的线段 $OM_0$ 的方向向量即为向量 $\overrightarrow{OM_0}$： $$ \overrightarrow{OM_0} = (2-0,\ 9-0,\ -6-0) = (2,9,-6). $$
2. 所求平面与线段 $OM_0$ 垂直，因此平面的法向量 $\mathbf{n}$ 可取为 $\overrightarrow{OM_0}$，即： $$ \mathbf{n} = (2,9,-6). $$
3. 平面过点 $M_0(2,9,-6)$，由点法式方程可得： $$ 2(x-2) + 9(y-9) + (-6)(z+6) = 0. $$
4. 展开并化简： $$ 2x - 4 + 9y - 81 - 6z - 36 = 0, $$ $$ 2x + 9y - 6z - 121 = 0. $$
**最终平面方程为：** $$ \boxed{2x + 9y - 6z - 121 = 0}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定线段OM0的方向向量
连接坐标原点O(0,0,0)与点M0(2,9,-6)的线段OM0的方向向量即为向量OM0 = (2-0, 9-0, -6-0) = (2,9,-6)。
公式：向量坐标 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
提示：注意方向向量的起点和终点顺序。
步骤 2/4
目标：确定平面的法向量
所求平面与线段OM0垂直，因此平面的法向量n可取为OM0，即n = (2,9,-6)。
公式：平面法向量与垂直直线的方向向量平行。
提示：法向量与直线方向向量平行。
步骤 3/4
目标：写出点法式方程
平面过点M0(2,9,-6)，法向量n=(2,9,-6)，由点法式方程得：2(x-2) + 9(y-9) + (-6)(z+6) = 0。
公式：点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
提示：注意点坐标代入时符号：z+6 = z-(-6)。
步骤 4/4
目标：化简方程
展开并化简：2x - 4 + 9y - 81 - 6z - 36 = 0，即2x + 9y - 6z - 121 = 0。
公式：合并同类项
提示：常数项计算：-4-81-36 = -121。
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