同济高数 第8章 第8-4-1题
📝 题目
1．求过点 $(4,-1,3)$ 且平行于直线 $\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{5}$ 的直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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**第一步：确定直线的方向向量** 已知直线方程为 $$ \frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{5} $$ 这是直线的对称式方程，分母即为方向向量的分量。所以该直线的方向向量为 $$ \vec{s} = (2, 1, 5) $$
**第二步：利用平行条件** 所求直线与已知直线平行，因此它们的方向向量相同，即所求直线的方向向量也是 $$ \vec{s} = (2, 1, 5) $$
**第三步：写出所求直线的对称式方程** 直线过点 $(4, -1, 3)$，方向向量为 $(2, 1, 5)$，由对称式方程公式 $$ \frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p} $$ 代入得 $$ \frac{x - 4}{2} = \frac{y - (-1)}{1} = \frac{z - 3}{5} $$ 即 $$ \frac{x - 4}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{5} $$
**最终答案** $$ \boxed{\frac{x-4}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{5}} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定已知直线的方向向量
已知直线方程为 (x-3)/2 = y/1 = (z-1)/5，这是对称式方程，分母即为方向向量的分量。因此方向向量为 (2, 1, 5)。
公式：对称式方程 (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p 中，(m,n,p) 为方向向量
提示：注意分母不能为零，若分母为零则对应分式理解为分子也为零。
步骤 2/3
目标：利用平行条件得到所求直线的方向向量
所求直线与已知直线平行，因此方向向量相同，也为 (2, 1, 5)。
公式：两直线平行等价于方向向量成比例
提示：平行包括重合，但本题中过不同点，故不重合。
步骤 3/3
目标：写出所求直线的对称式方程
直线过点 (4, -1, 3)，方向向量为 (2, 1, 5)，代入对称式方程公式得 (x-4)/2 = (y+1)/1 = (z-3)/5。
公式：对称式方程 (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p
提示：注意点坐标代入时符号：y0 = -1，所以 y - (-1) = y+1。
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