同济高数 第8章 第8-4-10题
📝 题目
10．试确定下列各组中的直线和平面间的关系： （1）$\displaystyle \frac{x+3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z}{3}$ 和 $4 x-2 y-2 z=3$ ； （2）$\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和 $3 x-2 y+7 z=8$ ； （3）$\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4}$ 和 $x+y+z=3$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**习题8-4 第10题**：判断直线与平面的位置关系（平行、垂直、相交等）。
---
### （1） 直线： $$ \frac{x+3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z}{3} $$ 方向向量为 $$ \vec{s}=(-2,-7,3) $$ 平面： $$ 4x-2y-2z=3 $$ 法向量为 $$ \vec{n}=(4,-2,-2) $$ 计算点积： $$ \vec{s}\cdot\vec{n}=(-2)\cdot4+(-7)\cdot(-2)+3\cdot(-2)=-8+14-6=0 $$ 点积为零，说明直线方向与平面法向量垂直，即直线与平面平行或直线在平面内。 取直线上一点 $(-3,-4,0)$，代入平面方程左边： $$ 4(-3)-2(-4)-2(0)=-12+8+0=-4\neq3 $$ 故点不在平面上，因此直线与平面平行。
结论：**平行**。
---
### （2） 直线： $$ \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7} $$ 方向向量： $$ \vec{s}=(3,-2,7) $$ 平面： $$ 3x-2y+7z=8 $$ 法向量： $$ \vec{n}=(3,-2,7) $$ 显然 $\vec{s}$ 与 $\vec{n}$ 平行（成比例），故直线垂直于平面。 取直线上一点 $(0,0,0)$，代入平面方程得 $0\neq8$，故直线与平面相交且垂直。
结论：**垂直相交**。
---
### （3） 直线： $$ \frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4} $$ 方向向量： $$ \vec{s}=(3,1,-4) $$ 平面： $$ x+y+z=3 $$ 法向量： $$ \vec{n}=(1,1,1) $$ 点积： $$ \vec{s}\cdot\vec{n}=3\cdot1+1\cdot1+(-4)\cdot1=3+1-4=0 $$ 故直线与平面平行或直线在平面内。 取直线上一点 $(2,-2,3)$，代入平面方程： $$ 2+(-2)+3=3 $$ 满足方程，因此该点在平面上，故直线在平面内。
结论：**直线在平面内**。
---
**最终答案**： （1）平行； （2）垂直相交； （3）直线在平面内。