同济高数 第8章 第8-4-12题
📝 题目
12．求点 $(-1,2,0)$ 在平面 $x+2 y-z+1=0$ 上的投影．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求点 $P(-1,2,0)$ 在平面 $$ x + 2y - z + 1 = 0 $$ 上的投影点 $P'$。 平面的法向量为 $$ \vec{n} = (1, 2, -1). $$ 过点 $P$ 且垂直于平面的直线参数方程为： $$ \begin{cases} x = -1 + t, \\ y = 2 + 2t, \\ z = 0 - t. \end{cases} $$ 将此代入平面方程： $$ (-1 + t) + 2(2 + 2t) - (-t) + 1 = 0. $$ 化简： $$ -1 + t + 4 + 4t + t + 1 = 0, $$ $$ ( -1 + 4 + 1) + (t + 4t + t) = 4 + 6t = 0, $$ 解得 $$ t = -\frac{2}{3}. $$ 代回参数方程得投影点坐标： $$ x = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3},\quad y = 2 + 2\left(-\frac{2}{3}\right) = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3},\quad z = 0 - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}. $$ 因此投影点为 $$ \boxed{\left(-\frac{5}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{2}{3}\right)}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定平面的法向量
平面方程为 x+2y-z+1=0，法向量为 (1,2,-1)。
提示：法向量由平面方程的系数直接得到。
步骤 2/4
目标：写出过点P且垂直于平面的直线参数方程
点P(-1,2,0)，方向向量为法向量(1,2,-1)，参数方程为：x=-1+t, y=2+2t, z=-t。
提示：直线方向向量与平面法向量平行。
步骤 3/4
目标：将参数方程代入平面方程求解参数t
代入得：(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0，化简得4+6t=0，解得t=-2/3。
提示：注意符号，代入后合并同类项。
步骤 4/4
目标：回代参数方程得到投影点坐标
将t=-2/3代入：x=-1-2/3=-5/3, y=2+2*(-2/3)=2/3, z=-(-2/3)=2/3。
提示：计算时注意分数运算。
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