同济高数 第8章 第8-4-14题
📝 题目
14．设 $M_{0}$ 是直线 $L$ 外一点，$M$ 是直线 $L$ 上任意一点，且直线的方向向量为 $s$ ，试证：点 $M_{0}$ 到直线 $L$ 的距离
$$ d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{0} M} \times s\right|}{|s|} . $$
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 设直线 $L$ 的方向向量为 $\mathbf{s}$，点 $M$ 是直线 $L$ 上的任意一点，点 $M_0$ 是直线外一点。 从几何意义上看，点 $M_0$ 到直线 $L$ 的距离等于以向量 $\overrightarrow{M_0 M}$ 和方向向量 $\mathbf{s}$ 为邻边的平行四边形的面积除以底边 $|\mathbf{s}|$ 的长度。
具体推导如下：
1. 作向量 $\overrightarrow{M_0 M}$，它表示从点 $M_0$ 指向直线上的点 $M$ 的向量。 2. 向量 $\overrightarrow{M_0 M}$ 与方向向量 $\mathbf{s}$ 的叉积的模 $|\overrightarrow{M_0 M} \times \mathbf{s}|$ 表示以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。 3. 该平行四边形以 $|\mathbf{s}|$ 为底边，则高即为点 $M_0$ 到直线 $L$ 的距离 $d$。
由平行四边形面积公式： $$ \text{面积} = |\overrightarrow{M_0 M} \times \mathbf{s}| = |\mathbf{s}| \cdot d $$
因此： $$ d = \frac{|\overrightarrow{M_0 M} \times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|} $$
证毕。