同济高数 第8章 第8-5-1题
📝 题目
1．一球面过原点及 $A(4,0,0), B(1,3,0)$ 和 $C(0,0,-4)$ 三点，求球面的方程及球心的坐标和半径．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们设球面的一般方程为： $$x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$$ 由于球面过原点 $(0,0,0)$，代入得： $$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + G = 0 \quad\Rightarrow\quad G=0$$
过点 $A(4,0,0)$： $$16 + 0 + 0 + 4D + 0 + 0 + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 16 + 4D = 0 \quad\Rightarrow\quad D = -4$$
过点 $B(1,3,0)$： $$1 + 9 + 0 + D\cdot1 + E\cdot3 + 0 + 0 = 0$$ 代入 $D=-4$： $$10 -4 + 3E = 0 \quad\Rightarrow\quad 6 + 3E = 0 \quad\Rightarrow\quad E = -2$$
过点 $C(0,0,-4)$： $$0 + 0 + 16 + 0 + 0 + F(-4) = 0$$ 即 $$16 - 4F = 0 \quad\Rightarrow\quad F = 4$$
因此球面方程为： $$x^2 + y^2 + z^2 -4x -2y + 4z = 0$$
配方求球心与半径： $$(x^2 -4x) + (y^2 -2y) + (z^2 + 4z) = 0$$ $$(x-2)^2 -4 + (y-1)^2 -1 + (z+2)^2 -4 = 0$$ 即 $$(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 9$$
所以球心坐标为 $(2,1,-2)$，半径 $R = \sqrt{9} = 3$。
最终答案： 球面方程：$$(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 9$$ 球心：$(2,1,-2)$，半径：$3$。