同济高数 第8章 第8-5-2题
📝 题目
2．已知一球面的球心在点 $P_{0}(3,-5,2)$ 且与平面 $\Pi: 2 x-y+3 z+9=0$ 相切，求该球面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**第一步：确定球面半径** 球面与平面相切，球心到平面的距离即为半径。 球心 $P_0(3,-5,2)$ 到平面 $\Pi: 2x - y + 3z + 9 = 0$ 的距离公式为： $$ r = \frac{|2\cdot 3 + (-1)\cdot(-5) + 3\cdot 2 + 9|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} $$
**第二步：计算分子** $$ 2\cdot 3 = 6,\quad (-1)\cdot(-5)=5,\quad 3\cdot 2=6 $$ 代入常数项： $$ 6 + 5 + 6 + 9 = 26 $$ 取绝对值仍为 $26$。
**第三步：计算分母** $$ \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} $$ 因此： $$ r = \frac{26}{\sqrt{14}} $$
**第四步：写出球面方程** 球心为 $(3,-5,2)$，半径为 $r$，标准方程为： $$ (x-3)^2 + (y+5)^2 + (z-2)^2 = r^2 $$ 其中： $$ r^2 = \left(\frac{26}{\sqrt{14}}\right)^2 = \frac{676}{14} = \frac{338}{7} $$
**第五步：最终方程** $$ \boxed{(x-3)^2 + (y+5)^2 + (z-2)^2 = \frac{338}{7}} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定球面半径
球面与平面相切，球心到平面的距离即为半径。球心 P0(3,-5,2) 到平面 Π: 2x - y + 3z + 9 = 0 的距离公式为：r = |2·3 + (-1)·(-5) + 3·2 + 9| / √(2^2 + (-1)^2 + 3^2)。
公式：r = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
提示：注意分子要取绝对值，分母是平面法向量的模。
步骤 2/5
目标：计算分子
计算 2·3 = 6，(-1)·(-5) = 5，3·2 = 6，加上常数项 9，得 6 + 5 + 6 + 9 = 26。取绝对值仍为 26。
提示：注意符号：-y 中 y 的系数是 -1，代入 y=-5 得 (-1)*(-5)=5。
步骤 3/5
目标：计算分母
计算 √(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = √(4 + 1 + 9) = √14。
提示：分母是平面法向量的模。
步骤 4/5
目标：写出球面方程
球心为 (3,-5,2)，半径为 r = 26/√14，标准方程为 (x-3)^2 + (y+5)^2 + (z-2)^2 = r^2。计算 r^2 = (26/√14)^2 = 676/14 = 338/7。
公式：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
提示：注意 y 坐标 -5 在方程中变为 (y+5)。
步骤 5/5
目标：最终方程
球面方程为 (x-3)^2 + (y+5)^2 + (z-2)^2 = 338/7。
提示：结果可以保留分数形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。