同济高数 第8章 第8-5-3题
📝 题目
3．方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y+2 z=0$ 表示什么曲面？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先将给定方程进行配方，以判断其表示的曲面类型。 原方程为： $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+2z=0 $$
分别对 $x$、$y$、$z$ 配方：
对于 $x$： $x^{2} - 2x = (x-1)^{2} - 1$
对于 $y$： $y^{2} + 4y = (y+2)^{2} - 4$
对于 $z$： $z^{2} + 2z = (z+1)^{2} - 1$
代入原方程： $$ (x-1)^{2} - 1 + (y+2)^{2} - 4 + (z+1)^{2} - 1 = 0 $$
合并常数项： $$ (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z+1)^{2} - 6 = 0 $$
移项得： $$ (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z+1)^{2} = 6 $$
这是球心在 $(1, -2, -1)$，半径 $r = \sqrt{6}$ 的球面方程。
因此，原方程表示一个球面。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将方程配方，化为标准形式
原方程：x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z = 0。分别对x、y、z配方：x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1，y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4，z^2 + 2z = (z+1)^2 - 1。代入得：(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + (z+1)^2 - 1 = 0。
公式：(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 6
提示：配方时注意一次项系数的一半平方
步骤 2/2
目标：识别曲面类型
方程化为 (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 6，这是球心在 (1, -2, -1)，半径 r = √6 的球面方程。
公式：球面标准方程 (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2
提示：球心坐标是各括号内常数的相反数
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。