同济高数 第8章 第8-6-5题
📝 题目
5．将下列曲线的一般方程化为参数方程： （1）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, \\ y=x ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}(x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4, \\ z=0 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 曲线方程为 $$ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, \\ y=x . \end{cases} $$ 将 $y=x$ 代入第一个方程得 $$ x^{2}+x^{2}+z^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}+z^{2}=9. $$ 这是一个椭圆方程，可令 $$ x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t,\quad z=3\sin t, $$ 则 $y=x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t$，其中 $t\in[0,2\pi)$。 因此参数方程为 $$ \boxed{\begin{cases} x=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t,\$$4pt] y=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t,\$$4pt] z=3\sin t, \end{cases}\quad t\in[0,2\pi)}. $$
**（2）** 曲线方程为 $$ \begin{cases} (x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4, \\ z=0 . \end{cases} $$ 将 $z=0$ 代入第一个方程得 $$ (x-1)^{2}+y^{2}+(0+1)^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=3. $$ 这是一个圆心在 $(1,0)$、半径为 $\sqrt{3}$ 的圆。令 $$ x-1=\sqrt{3}\cos t,\quad y=\sqrt{3}\sin t, $$ 即 $$ x=1+\sqrt{3}\cos t,\quad y=\sqrt{3}\sin t, $$ 且 $z=0$，$t\in[0,2\pi)$。 因此参数方程为 $$ \boxed{\begin{cases} x=1+\sqrt{3}\cos t,\\ y=\sqrt{3}\sin t,\\ z=0, \end{cases}\quad t\in[0,2\pi)}. $$