同济高数 第9章 第9-1-2题
📝 题目
2．已知函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-x y \tan \frac{x}{y}$ ，试求 $f(t x, t y)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知函数 $$ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - x y \tan\frac{x}{y} $$ 要求计算 $ f(tx, ty) $，即把自变量 $x$ 替换为 $tx$，$y$ 替换为 $ty$。
代入得： $$ f(tx, ty) = (tx)^{2} + (ty)^{2} - (tx)(ty) \tan\frac{tx}{ty} $$
分别化简各项： $$ (tx)^2 = t^{2}x^{2}, \quad (ty)^2 = t^{2}y^{2}, \quad (tx)(ty) = t^{2}xy $$ 且 $$ \frac{tx}{ty} = \frac{x}{y} $$ 因此： $$ f(tx, ty) = t^{2}x^{2} + t^{2}y^{2} - t^{2}xy \tan\frac{x}{y} $$
提取公因式 $t^{2}$： $$ f(tx, ty) = t^{2} \left( x^{2} + y^{2} - xy \tan\frac{x}{y} \right) $$
注意到括号内正是原函数 $f(x, y)$，因此： $$ \boxed{f(tx, ty) = t^{2} f(x, y)} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：代入变量替换
将原函数中的 x 替换为 tx，y 替换为 ty，得到 f(tx, ty) = (tx)^2 + (ty)^2 - (tx)(ty) tan(tx/(ty))。
提示：注意替换时保持函数形式不变。
步骤 2/4
目标：化简各项
计算平方项和乘积项： (tx)^2 = t^2 x^2, (ty)^2 = t^2 y^2, (tx)(ty) = t^2 xy。同时化简分式： tx/(ty) = x/y。
提示：分式化简时注意 t 不为零。
步骤 3/4
目标：提取公因式
将化简后的表达式写为 t^2 x^2 + t^2 y^2 - t^2 xy tan(x/y) = t^2 (x^2 + y^2 - xy tan(x/y))。
提示：提取公因式 t^2。
步骤 4/4
目标：识别原函数
括号内恰好是原函数 f(x, y)，因此 f(tx, ty) = t^2 f(x, y)。
公式：f(tx, ty) = t^2 f(x, y)
提示：注意原函数定义。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。