同济高数 第9章 第9-1-3题

教材习题

📝 题目

3．试证函数 $F(x, y)=\ln x \cdot \ln y$ 满足关系式

$$ F(x y, u v)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v) . $$

💡 答案解析

[AI解答]

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我们已知函数 $$ F(x, y) = \ln x \cdot \ln y. $$ 要证明对于任意正数 $x, y, u, v$，有 $$ F(xy, uv) = F(x, u) + F(x, v) + F(y, u) + F(y, v). $$

**证明步骤：**

首先，由定义写出左边： $$ F(xy, uv) = \ln(xy) \cdot \ln(uv). $$

利用对数的性质： $$ \ln(xy) = \ln x + \ln y, \quad \ln(uv) = \ln u + \ln v. $$

因此， $$ F(xy, uv) = (\ln x + \ln y)(\ln u + \ln v). $$

展开乘积： $$ (\ln x + \ln y)(\ln u + \ln v) = \ln x \cdot \ln u + \ln x \cdot \ln v + \ln y \cdot \ln u + \ln y \cdot \ln v. $$

由函数定义，每一项恰好是： $$ \ln x \cdot \ln u = F(x, u), \quad \ln x \cdot \ln v = F(x, v), \quad \ln y \cdot \ln u = F(y, u), \quad \ln y \cdot \ln v = F(y, v). $$

因此， $$ F(xy, uv) = F(x, u) + F(x, v) + F(y, u) + F(y, v). $$

证毕。

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：写出左边表达式
由函数定义，左边为 F(xy, uv) = ln(xy) * ln(uv)。
公式：F(x, y) = ln x * ln y
步骤 2/4
目标：利用对数性质化简
根据对数加法性质，ln(xy) = ln x + ln y，ln(uv) = ln u + ln v。代入得 (ln x + ln y)(ln u + ln v)。
公式：ln(ab) = ln a + ln b
步骤 3/4
目标：展开乘积
将 (ln x + ln y)(ln u + ln v) 展开为 ln x * ln u + ln x * ln v + ln y * ln u + ln y * ln v。
公式：(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
步骤 4/4
目标：用函数表示各项
根据定义，ln x * ln u = F(x, u)，ln x * ln v = F(x, v)，ln y * ln u = F(y, u)，ln y * ln v = F(y, v)。因此左边等于右边。
公式：F(x, y) = ln x * ln y

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