同济高数 第9章 第9-1-4题
📝 题目
4．已知函数 $f(u, v, w)=u^{w}+w^{u+v}$ ，试求 $f(x+y, x-y, x y)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知函数 $$ f(u, v, w) = u^{w} + w^{u+v} $$ 现在令 $$ u = x + y,\quad v = x - y,\quad w = x y $$ 代入函数表达式，得 $$ f(x+y,\; x-y,\; xy) = (x+y)^{xy} + (xy)^{(x+y)+(x-y)} $$ 先化简指数部分： $$ (x+y)+(x-y) = x+y+x-y = 2x $$ 因此 $$ f(x+y,\; x-y,\; xy) = (x+y)^{xy} + (xy)^{2x} $$ 这就是所求结果。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：代入变量
令 u = x+y, v = x-y, w = xy，代入 f(u,v,w) = u^w + w^{u+v}
公式：f(x+y, x-y, xy) = (x+y)^{xy} + (xy)^{(x+y)+(x-y)}
提示：注意替换时要保持对应关系
步骤 2/3
目标：化简指数
计算 (x+y)+(x-y) = 2x
公式：(x+y)+(x-y) = 2x
提示：合并同类项
步骤 3/3
目标：写出最终表达式
代入化简后的指数，得到 f = (x+y)^{xy} + (xy)^{2x}
公式：f(x+y, x-y, xy) = (x+y)^{xy} + (xy)^{2x}
提示：指数运算中底数和指数要区分清楚
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